「位数が12の群の群の分類③」【代数学の基礎シリーズ】群論編 その34

本記事の内容

本記事は、位数が12の群の分類について、その一部を解説する記事です。

本記事を読むに当たり商群、二面体群、生成された部分群、シローの定理について知っている必要があるため、以下の記事も合わせて御覧ください。

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「部分群とは？」「生成系とは？」「正規部分群とは？」丁寧に解説！【代数学の基礎シリーズ】群論編 その2

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前回から数回に渡ってやること

前々回(【代数学の基礎シリーズ】群論編 その32)から数回に渡って何を解説するか、というと、結論としては次の定理の証明です。

「なぜ12なの？」と思うかも知れませんが、12という数を選んだのは、位数が小さい群の中では位数12の群が一番興味深いと言われているからです。
また、分類の過程で群論に関して今までに学んだことのほとんどを使うことになるからです。
要するに、位数12の群は群論の基礎知識をフル稼働させるため、群論の全体像をつかみやすくするだけでなく「群のイロハが詰まっている」という理想的な状況なのです。

定理0.の証明の流れ

割とシンプルです。

• ①　出現する全ての群が同型でないことの証明(【代数学の基礎シリーズ】群論編 その33で証明済み)
• ②　$G$が位数12の群なら、1.から5.のうちのどれかと同型になることの証明
  • 1.と同型になる場合→【代数学の基礎シリーズ】群論編 その33で証明済み
  • 2.と同型になる場合→【代数学の基礎シリーズ】群論編 その33で証明済み
  • 3.と同型になる場合→【代数学の基礎シリーズ】群論編 その33で証明済み
  • 4.と同型になる場合→今回
  • 5.と同型になる場合→次回

今回は、②の4.を証明します。

※注意※　(証明に入る前に)

先程、「位数12の群は群論の基礎知識をフル稼働させる」と述べました。
しかし、出現するものを具体的に列挙して復習すると寧ろくどく、証明の全体像が見えにくく成ってしまうと思うので、都度都度参考リンクを貼ることにします。

前回までの証明

前々回(【代数学の基礎シリーズ】群論編 その33)は出現する全ての群が同型でないことを証明し、

としたとき、$H\cong \mathbb{Z}/{2\mathbb{Z}}\times \mathbb{Z}/{2\mathbb{Z}}$であることと、$H$が正規部分群であることを証明しました。

前々回の考察から、$H$と$K$のうちどちらかは正規部分群なので、$HK\subset G$は部分群です。
$H,K\subset HK$なので$\left|HK\right|$は$3$と$4$で割り切れます。
$\left|HK\right|\leq12$なので、$\left|HK\right|=12$です。
故に、$HK=G$となるのでした。

前回は、それを踏まえて

• 場合１：$H$と$K$の双方が正規部分群のとき
• 場合２：$H$のみが正規部分群のとき

について考察し、それぞれ

• 場合１：1.と2.のいずれかに同型
• 場合２：交代群$A_4$に同型

であることを示しました。

いざ、証明(Part.3)

場合3.($K$のみが正規部分群のとき)

この場合、$h\in H$に対して、${\rm Aut}(K)$(【代数学の基礎シリーズ】群論編 その3を参照)の要素$\varphi(h)$を$\varphi(h)(k)=hkh^{-1}$と定めます。
$K\cong \mathbb{Z}/{3\mathbb{Z}}$なので、$K=\mathbb{Z}/{3\mathbb{Z}}$としてOKです。
$\psi\in{\rm Aut}(K)$であれば、$\psi(\bar{1})\in K$は位数3の要素です。
$K$の位数3の要素は$\bar{1},\bar{2}$なので、$\psi(\bar{1})=\bar{1},\bar{2}$です。

$f:K\ni k\mapsto \bar{2}k\in K$という写像は準同型写像です。
$f\circ f$は恒等写像なので、$f$は同型写像です。
したがって、$\psi(\bar{1}=\bar{2})$となる同型写像$\psi$が存在します。
任意の$\psi\in{\rm Aut}(K)$は$K$の生成元$\bar{1}$の像で定まってしまうので、${\rm Aut}(K)=\left\{\bar{1},\bar{2}\right\}$とみなすことができます。
この群の演算は$\mathbb{Z}/{3\mathbb{Z}}$の通常の籍であり、${\rm Aut}(K)\cong\mathbb{Z}/{2\mathbb{Z}}$です。

もし、$\varphi(H)\subset {\rm Aut}(K)$が自明な群なのであれば、任意の$h\in H$、$k\in K$に対して$hkh^{-1}=k$となり、$H\triangleleft G$となるので矛盾です。
故に、$\varphi(H)=\mathbb{Z}/{2\mathbb{Z}}$です。

そこで、以下

• (a)　$H\cong\mathbb{Z}/{4\mathbb{Z}}$
• (b)　$H\cong\mathbb{Z}/{2\mathbb{Z}}\times\mathbb{Z}/{2\mathbb{Z}}$→次回

の場合を考えます。

(a)　$H\cong\mathbb{Z}/{4\mathbb{Z}}$のとき

$H=\left\langle a\right\rangle$、$K=\left\langle b\right\rangle$とします。
先の考察から$ab\neq ba$です。
$\varphi(H)=\mathbb{Z}/{2\mathbb{Z}}$なので$aba^{-1}=b^2$です。
$G$は$a,b$で生成されていて、$a^4=b^3=1$、$ab=b^2a$なので、$x\mapsto a$、$y\mapsto b$となるような全射準同型
$$\left\langle x,y\middle|x^4=y^3=1,\ xy=y^2x\right\rangle\longrightarrow G$$
が存在します。
尚、左辺は生成元と関係式で定義された群(【代数学の基礎シリーズ】群論編 その30を参照)です。

ここで、以前扱った例題を思い出します。

例題2.の詳しい解答は【代数学の基礎シリーズ】群論編 その31を御覧ください。

例題2.から、
$$\left\langle x,y\middle|x^4=y^3=1,\ xy=y^2x\right\rangle$$
の位数は12なので、この写像は同型写像です。

皆様のコメントを下さい！

今回から数回に渡って、古代ギリシャで生まれた数学(特に幾何学)がデカルトの出現により大きく変化したということについて少々語ろうと思います。

古代ギリシャで生まれた数学は、平面や空間における幾何学に関する限り、ほぼ完璧な理論として完成していました。
その後ヘレニズム文化の下での若干の発展があったものの、古代ローマの時代には衰退し、中世には見るべき発展はありませんでした。
古代の幾何学はアラビアが継承し、ルネサンスの時代にアラビアからヨーロッパに数学が「逆輸入」された後も、しばらくは古代ギリシャの幾何学理論を本質的には超えることはできませんでした。
しかし、ようやく17世紀にはギリシャの数学者が扱っていた幾何学的対象から前進し、より広い対象を扱う機運が生まれたのです。
さらに幾何学の研究方法もそれに合わせて大きな変革を遂げることになります。

まず、古代の幾何学の風貌(性格と言ったほうがいいかもしれませんが)を述べます。
古代ギリシャの幾何学で扱われた曲線は、極めて狭いクラスに属する曲線でした。
すなわち、三角形や四角形などの多角形、円周、円錐曲線(conic curve, conic section)(楕円、放物線、双曲線など、円錐と平面の交わりとして得られる曲線)、螺旋などが考察の対象でした。

ちなみに、円錐曲線の体系的理論は、ユークリッドの円錐曲線論4巻にアレキサンドリアの数学者アポロニウスが4巻を加えた8巻の書「円錐曲線論」において完成されました。
楕円(ellipse)、放物線(parabola)、双曲線(hyperbola)の名前もアポロニウスに帰します。
円曲線論は15世紀の遠近法(投影画法)に源を持つ射影幾何学に関係しています。

もう1つ、古代ギリシャの数学の限界を示すものに、代数の考え方が未発達だったことがあります。

その背景には、長さ、面積、体積などの「量」の演算が幾何学的に行われ、そのため極めて制限された形で演算が行われていたことがあります。
敢えて言えば、代数的問題をすべて幾何学の問題、特に作図問題として捉えていたのです。
このような理由から、ギリシャの数学において現代から見て代数的といえる部分を幾何代数という言い方をすることがあります。

例えば、2つの図形$K, L$が与えられたとき、$K$の(多角形や多面体による)分割と移動、それに寄せ集めなどの幾何学的操作により$L$を得るとき、$K$の表す量と$L$の表す量が一致するいう定め方をしていました。
また、大小関係についても$K$の一部分が今述べた意味で$L$と一致するとき、$K$は$L$より大きいと定めていました。

補足

ユークリッドの原論では，「量」の一般的性質として、暗黙のうちに次のことを仮定しています。

1. 2つの(同じ範疇に属する)「量」の大小が常に比べられる。
2. 1つの「量」の$n$倍を考え、$n$を大きくしていくと与えられた任意「量」より大きくなる。

性質2.は「取り尽くしの方法」の前提になるものであり、ヒルベルトの公理系では「アルキメデスの公理」とよばれています。
アルキメデスの公理は、数値で表される量に対しては当たり前ですが、一般の量については自明なことではありません。

下図は、ギリシャ数学の意味で、三角形の「面積」がその底辺と高さを2辺とする長方形の「面積」の半分であることを示しています。
現代的には、これは三角形の面積が「底辺$\times$高さ$\div 2$」により与えられるということを主張しています。
また、三平方の定理も「直角三角形の斜辺に立てた正方形は、他の2辺にそれぞれ立てた正方形を合わせたものに等しい」と表現されています。

現在では、長さ、面積、体積などは数量として表されまる。
しかし、ギリシャの幾何学ではそれらはあくまでも図形そのものなのであり、「量」としての演算も図形の操作なのです。
このこともあって、異なる範疇に属する「量」の加法や減法は行われません。
また、通常の意味の乗法も行われません(敢えて言えば2つの線分の乗法は、それらを辺とする長方形を考えることと解釈します)。

補足

古代ギリシャの面積・体積理論と数量的な面積・体積理論が同値なものであるかという問題が考えられます。
多角形に限った話をすると2つの面積理論は同値です。
しかし、多面体の体積理論については異なることが知られています。
例えば、底面積と高さがそれぞれ等しい2つの三角錐は数量的体積は等しいのですが、分割と移動、それに寄せ集めなどの幾何学的操作では互いに移らないことがあります。
これは、ヒルベルトが提出した問題にデーン(M. Dehn)が否定的に解決した結果です(1901年)。

今回はここまでです。
次回は記号代数について少々語ろうと思います。

是非コメントで感想をくださると嬉しいです！

結

今回は位数が12の群の分類の一部として、生成元と関係式で定義された群と同型となる場合について解説しました。
位数12の群は位数自体が比較的小さく、そして群論の知識をフル稼働で使うため群論そのものの良い復習となるだけでなく、群論の見通しを良くします。

次回も今回の続きとして、二面体群と同型となる場合を証明していきます。

乞うご期待！
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