「部分群とは？」「生成系とは？」「正規部分群とは？」丁寧に解説！【代数学の基礎シリーズ】群論編その2

代数学

2023.02.19 2022.10.17

本記事の内容

本記事は、部分群、生成系、正規部分群について解説する記事です。

本記事を読むにあたり、「群とは何か？」について知っている必要があるため、以下の記事も合わせて御覧ください。

「群とは何か？」の軽い復習

群とは以下でした。

群

$G$を空でない集合とする。$G$上の演算$\varphi:G\times G\longrightarrow G$が定められていて、次の性質を満たすとき、$G$を群(group)という。

結合律
単位元の存在

単位元

逆元の存在

逆元

演算$\varphi:G\times G\longrightarrow G$に対して
$$
\varphi(a,b)=ab
$$
と書くことにすると、

群(簡易的な記法を使ったver.)

$G$を空でない集合とする。$G$上の演算が定められていて、次の性質を満たすとき、$G$を群(group)という。

結合律
単位元の存在

単位元

逆元の存在

逆元

以降、断りがない限り、演算$\varphi:G\times G\longrightarrow G$の演算結果を$\varphi(a,b)=ab$で表すことにします。

部分群

まずは、部分群について解説します。

部分群を一言で。

部分群を一言で述べれば、

群$G$の部分集合が、同じ演算で群になるときに、その部分集合を部分群という。

ということです。

実は、すでに似たようなことを学習しています。
それは、部分空間です。

部分空間とは以下でした。

部分空間、部分ベクトル空間

線型空間$V$の空でない部分集合$W$が、$V$における和とスカラー倍の演算によって線型空間になるとき、$W$を$V$の部分空間、または部分ベクトル空間という。

これを一言で述べれば

線型空間の部分集合が線型空間であるとき、その部分集合を部分空間という。

ということでした。
部分群はニュアンスとしては部分空間と同じです。

前回、「線型空間は群だ」と述べました。
実は、部分空間は、線型空間を群としてとらえたときには部分群です。

「同じ演算」って？

ここで重要なのが、「群$G$と同じ演算で」というところです。
つまり、群$G$とその部分集合$H\subset G$がまた群だったとしても、$G$と$H$の演算が”異なって”いれば、$H$は$G$の部分群とはいいません。
このとき、$H$は単に別物の群です。

ただ、この”異なっていれば”ということも注意が必要です。
演算は写像でした。
写像が等しいというのは、

写像の相等

2つの写像$f_1:X_1\to Y_1$と$f_2:X_2\to Y_2$が等しいとは、

$X_1=X_2$かつ$Y_1=Y_2$かつ$(\forall x\in X_1)\ f_1(x)=f_2(x)$

が成り立つことをいう。

でした。
要するに、定義域と終域と、定義域の要素が終域の元とどのように対応するか、という規則が全て一致しているときに写像は等しいといいます。
つまり、定義域と終域と、定義域の要素が終域の元とどのように対応するか、という規則がのうち、どれか1つでも異なっていれば、写像としては等しくありません。
つまり、演算も等しくありません。

では、「同じ演算で」というのはどういう意味か、というと、群$G$の演算$\varphi:G\times G\longrightarrow G$に対して、$H\subset G$が演算$\left.\varphi\right|_{H\times H}:H\times H\longrightarrow H$で群であるときに、$H$は$G$の部分群といいます。

部分群とは？(数学的なお話)

では、「部分群とは何か？」ということを数学的にお話します。

部分群

$G$を群、$H\subset G$とする。$H$が$G$の演算によって群になるとき、$H$を$G$の部分群($H$ is a subgroup of $G$)という。

部分群であることの必要十分条件

部分空間を解説した際にも、部分空間であることの必要十分条件を述べました。
それと同様に、部分群であるための必要十分条件もあります。

定理1.(部分群であることの必要十分条件)

群$G$の部分集合$H$が$G$の部分群になるための必要十分条件は次の3つの条件が満たされることである。

$1_G\in H$である。ただし、$1_G$は群$G$の単位元である。
$x,y\in H\Rightarrow xy\in H$である。
$x\in H\Rightarrow x^{-1}\in H$である。

定理1.の証明

(1)$H$が$G$の部分群ならば、1.、2.、3.を満たすことの証明

(1)-①. 条件1.を満たすことの証明

$H$の演算は$G$の演算と一致するので、$H$の単位元$1_H$に対して、$G$での演算により$1_H1_H=1_H$が成り立ちます。
この等式に左から$1_H^{-1}$を施すと
$$
1_H^{-1}1_H1_H=1_H^{-1}1_H
$$
が得られます。
$1_H$は$H$の単位元だから、$G$の演算で$1_H$と一致します。
つまり、

(左辺)$=1_H$

です。
一方で、右辺はの$1_H^{-1}$は$G$の演算で$1_H$の逆元だから、

(右辺)$=1_G$

となります。
故に、$1_H=1_G$となるため、$1_H\in H$から$1_G\in G$となり、1.が成り立ちます。

(1)-②. 条件2.を満たすことの証明

$G$の演算により$H$が群になるので、そもそも演算が定まっています。
従って、$x,y\in H$に対して$xy\in H$となります。

(1)-③. 条件3.を満たすことの証明

$x\in H$に対して、$H$での$x$の逆元を$y$としましょう。
すると、$G$の演算で$xy=yx=1_H$です。
(1)-①.の証明から、$1_H=1_G$だったので、$xy=yx=1_H=1_G$です。
これは$y$が$x$の$G$での逆元でもある、ということを意味しています。
従って、$y=x^{-1}\in H$となり、条件3.を満たします。

(2)$H$が条件1.、2.、3.を満せば、$H$は$G$の部分群であることの証明

逆に、$H$が条件1.、2.、3.、を満たすとしましょう。
条件1.により、$H$は空集合ではありません。
任意の$x\in G$に対して、$x1_G=1_Gx=x$が成り立つので、$H\subset G$だから、任意の$x\in H$に対しても$x1_G=1_Gx=x$が成り立ちます。
故に、$1_G$は$H$でも単位元です。
$G$は群であるので、結合律を満たすから、その部分集合$H$でも結合律を満たします。
$x\in H$であれば、$G$の要素としての$x^{-1}$は、条件3.により$H$の要素でもあり、$xx^{-1}=x^{-1}x=1_G=1_H$なので、これは$H$においても$x$の逆元です。
以上のことから、$H$は$G$の演算でもって群になります。

定理1.の証明終わり

部分群の例

たとえば、どんなのが部分群か、ということを紹介します。

例2.(自明な部分群)

$G$を群とするとき、$\left\{1_G\right\}$、$G$自身は$G$の部分群です。
実際、

$1_G\in\left\{1_G\right\}$、
$1_G1_G=1_G\in\left\{1_G\right\}$、
$1_G1_G=1_G$により、$1_G$は$1_G$の逆元だから$1_G^{-1}=1_G\in \left\{1_G\right\}$

であり、$G$はそもそも群であるから、$\left\{1_G\right\}$と$G$は$G$の部分群です。

これらを$G$の自明な部分群といいます。

例3.($n\mathbb{Z}$)

前回証明したとおり、$\mathbb{Z}$はたし算で群です(これについては【代数学の基礎シリーズ】群論編その1を御覧ください)。
$n\in\mathbb{Z}$とするとき、
$$
n\mathbb{Z}=\left\{nx\middle|x\in\mathbb{Z}\right\}
$$
とします。
つまり、整数の範囲での$n$の倍数の集合、ということです。
実は、$n\mathbb{Z}$は$\mathbb{Z}$の部分群です。

$\mathbb{Z}$の単位元は$0$です。
$n\times 0=0\in\mathbb{Z}$だから、定理1.の条件1.を満たします。

$n\mathbb{Z}$の任意の2つの要素は$nx,\ ny\ (x,y\in\mathbb{Z})$という形をしています。
すると、$nx+ny=n(x+y)\in n\mathbb{Z}$となります。
ただし、今考えている演算は$+$だ、ということに注意です。
従って、定理1.の条件2.を満たします。

$nx$の逆元は、$-nx=n(-x)\in n\mathbb{Z}$だから、定理1.の条件3.も満たします。
従って、$n\mathbb{Z}$は$\mathbb{Z}$の部分群です。

※ちなみに、$\mathbb{Z}$の部分群はすべて$n\mathbb{Z}$という形をしています。

例4.(特殊線型群)

前回、一般線形群というものを紹介しました。
“一般”に対して”特殊”が存在します。

$\displaystyle{\rm GL}_n(\mathbb{R})=\{A|A$は$(n,n)$型の正則な行列$\}$

は、行列の積を演算として群でした(これについては【代数学の基礎シリーズ】群論編その1を御覧ください)。
そして、${\rm GL}_n(\mathbb{R})$を一般線型群と呼ぶのでした。

このとき、
$$
H=\left\{B\in{\rm GL}_n(\mathbb{R})\middle|\det B=1\right\}
$$
とすると、$H$は${\rm GL}_n(\mathbb{R})$の部分群です。

実際、

$I_n$を$n$次の単位行列とすると、$\det I_n=1$だから$I_n\in H$です。
$C,D\in H$とすると、$\det \left( CD\right)=\det C\cdot\det D=1\cdot1=1$により(これについては【線型代数学の基礎シリーズ】行列式編その6を御覧ください)、$CD\in H$です。
任意の$B\in H$に対して、$1=\det I_n=\det\left( BB^{-1}\right)=\det B\times\det B^{-1}$だから、
$$
\det B^{-1}=\left( \det B\right)^{-1}=1^{-1}=1
$$
です。
故に、$B^{-1}\in H$です。

により、定理1.により$H$は${\rm GL}_n(\mathbb{R})$の部分群です。

この$H=\left\{B\in{\rm GL}_n(\mathbb{R})\middle|\det B=1\right\}$のことを${\rm SL}_n(\mathbb{R})$と書いて、つまり
$$
{\rm SL}_n(\mathbb{R})=\left\{B\in{\rm GL}_n(\mathbb{R})\middle|\det B=1\right\}
$$
と書いて、特殊線型群といいます。

余談(${\rm SL}_n(\mathbb{R})$という記号について)

記号${\rm SL}_n(\mathbb{R})$の${\rm SL}$は、${\rm GL}_n(\mathbb{R})$と同様に、特殊線型群の英語名Special Liner Groupが由来です。

生成された部分群

次に、生成された部分群について解説します。

「生成された部分群」を一言で。

生成された部分群を一言で述べれば

群$G$の部分集合で、ある$S\subset G$を含む最小の部分群のこと。

です。
要するに、群$G$のとある部分集合$S$を含む最小の部分群が$S$により生成された部分群です。

「”最小”の？」となるかもしれませんが、これはどういうことかと言うと、$H$が$G$の部分群であり、なおかつ$S\subset H$であれば、必ず”$S$によって生成された部分群”と呼ばれる$G$の部分群は$H$に含まれる、という意味です。

「生成された部分群」とは？(数学的なお話)

まず、語(word)というものを定めます。

語(word)

$G$を群、$S\subset G$とする。$x_1,\dots,x_n\in S$により$x_1^{\pm1}\cdots x_n^{\pm1}$という形をした$G$の要素を$S$の要素による語(word)という。
ただし、$n=0$ならば$x_1^{\pm1}\cdots x_n^{\pm1}$は単位元$1_G$を表すとし、$\pm1$は各$x_i$ごとに$1$か$-1$のどちらでも良いとする。

ここで、$x_i^{\pm1}$という記号ですが、$x_i^{+1}$は$x_i$そのものを意味し、$x_i^{-1}$は$x_i$の逆元を意味しています。

このとき、次が成り立ちます。

定理5.

$\langle S\rangle$を$S$の要素による語全体の集合とするとき、次の1.、2.が成り立つ。

$\langle S\rangle$は$G$の部分群である。
$H$が$G$の部分群で$S$を含むならば、$\langle S\rangle\subset H$である。すなわち、$\langle S\rangle$が$S$を含むような最小の部分群である。

ただし、注意として、$\langle S\rangle\subset G$は$G$の部分群ですが、$S\subset G$は群とは限りません。

定理5.の証明

(1)の証明

語の部分で定めた$n=0$の場合により、$1_G\in \langle S\rangle$です。
$x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n\in S$であれば、 \begin{eqnarray} &&\left(x_1^{\pm1}\cdots x_n^{\pm1} \right)\left(y_1^{\pm1}\cdots y_n^{\pm1} \right)\\ &=&x_1^{\pm1}\cdots x_n^{\pm1}y_1^{\pm1}\cdots y_n^{\pm1} \end{eqnarray} も$S$の要素による語となり、$\langle S\rangle$の要素です。
次の事実を使います。
命題6.
1. 群の単位元は唯一つである。
2. $a\in G$に対して、その逆元は一意的に定まる。
3. $a,b\in G$ならば、$\left( a\ast b\right)^{-1}=b^{-1}\ast a^{-1}$である。
4. $a\in G$ならば、$\left( a^{-1}\right)^{-1}=a$である。
命題6.の証明は【代数学の基礎シリーズ】群論編その1を御覧ください。
命題6.の3.と4.から$x_1^{\pm1}\cdots x_n^{\pm1}$の逆元は$x_n^{\mp1}\cdots x_1^{\mp1}$であり、これも$S$の要素による語となるので、$\langle S\rangle$の要素です。
従って、定理1.から、$\langle S\rangle$は$G$の部分群です。

(2)の証明

$H$が$G$の部分群で、$S\subset H$を含むとしましょう。
$n=0$の場合に対応する$\langle S\rangle$の要素$1_G$は、$H$が$G$の部分群であることから$H$の要素です。
$x_1,\dots,x_n\in S$であれば、$S\subset H$なので$x_1,\dots,x_n\in H$です。
故に、$x_1^{\pm1},\dots,x_n^{\pm1}\in H$です。
$H$は$G$の部分群なので、定理1.の2.により、任意の$x,y\in H$ならば$xy\in H$だから、$x_1^{\pm1}\cdots x_n^{\pm1}\in H$です。
従って、$\langle S\rangle\subset H$です。

定理5.の証明終わり

定理5.の$\langle S\rangle$のことを$S$によって生成された部分群、$S$のことを生成系、$S$の要素を生成元といいます。

これをまとめると、次です。

生成された部分群、生成系、生成元

$\langle S\rangle$を$S$の要素による語全体の集合とするとき、$\langle S\rangle$を$S$によって生成された部分群、$S$のことを生成系、$S$の要素を生成元という。

生成された部分群の例

$G$を群、$x\in G$、$S=\left\{x\right\}$とします。
$n\in\mathbb{Z}$であれば、$x^n\in\langle S\rangle$です。
$x^{\pm1}\cdots x^{\pm1}$は、$+$の数が$a$個、$-$の数が$b$個なら、$x^{a-b}$です。
$a-b$は全ての整数になり得るので、
$$
\langle S\rangle=\left\{x^n\middle|b\in\mathbb{Z}\right\}
$$
です。
例えば、$G=\mathbb{Z}$、$n\in\mathbb{Z}$、$S=\left\{n\right\}$としましょう。
このとき、$\langle S\rangle=n\mathbb{Z}$です。
ちなみに、この$n$は先の$x^n$の$x$に対応します($n$には対応しません)。

巡回群

1つの要素で生成される群を巡回群といいます。

巡回群、巡回部分群

1つの要素で生成される群を巡回群という。群の部分群で、かつ巡回群であるものを巡回部分群という。

言い換えれば、群$G$が巡回群である、というのは、

ある要素$x\in G$が存在して、任意の$g\in G$が$g=x^n\ (n\in \mathbb{Z})$という形をしている。

ということです。

一番簡単な巡回部分群の例は$\mathbb{Z}$でしょう。
なぜなら、$\mathbb{Z}=\langle 1\rangle$だからです。
実際、任意の$n\in \mathbb{Z}$は$n=n\times1$と書けるからです。
故に、先ほど紹介した$n\mathbb{Z}$は$n$を生成元とする$\mathbb{Z}$の巡回部分群です。

正規部分群

部分群の中で、特別な性質を持つものを正規部分群といいます。
正規部分群は後に解説する準同型写像とも深く関わっており、重要な概念です。

「正規部分群」とは？

正規部分群

$H$を$G$の部分群とする。任意の$g\in G$、任意の$h\in H$に対して、$ghg^{-1}\in H$となるとき、$H$を$G$の正規部分群(normal subgroup of $G$)という。またこのとき、$H\triangleleft G$、あるいは$G\triangleright H$と書く。

これが正規部分群です。
この旨味は剰余群(商群)や準同型写像(後の記事で解説します)を学ぶと分かると思います。

正規部分群の例

例7.(可換群の部分群は正規部分群)

群$G$が可換群で、$H$が$G$の任意の部分群であれば、$H$は必ず正規部分群です。

実際、任意の$g\in G$と任意の$h\in H$に対して
$$
ghg^{-1}=gg^{-1}h=1_Gh=h\in h
$$
だからです。

例8.(特殊線型群は一般線形群の正規部分群)

先程述べた、特殊線型群
$$
{\rm SL}_n(\mathbb{R})=\left\{B\in{\rm GL}_n(\mathbb{R})\middle|\det B=1\right\}
$$
は、一般線形群

$\displaystyle{\rm GL}_n(\mathbb{R})=\{A|A$は$(n,n)$型の正則な行列$\}$

の正規部分群です。

実際、行列式の性質$\det \left( AB\right)=\det A\cdot \det B$(これについては【線型代数学の基礎シリーズ】行列式編その6を御覧ください)を使うと、$A\in{\rm GL}_n(\mathbb{R})$と$B\in{\rm SL}_n(\mathbb{R})$に対して、
\begin{eqnarray}
\det\left( ABA^{-1}\right)&=&\det A\cdot\det B\cdot\det\left( A^{-1}\right)\\
&=&\det A\cdot\det B\cdot\left(\det A\right)^{-1}\\
&=&\det B=1
\end{eqnarray}
が成り立ちます。
故に、$ABA^{-1}\in{\rm SL}_n(\mathbb{R})$となります。
従って、${\rm SL}_n(\mathbb{R})\triangleleft{\rm GL}_n(\mathbb{R})$です。

正規部分群の判定法

群$G$の部分群$H$が正規部分群であることを確かめるとき、先に行った$ghg^{-1}\in H$を満たすかどうかを確かめる方法以外もあります。

定理9.(正規部分群の判定法)

$N$は群$G$の部分群で、$G$、$N$はそれぞれ部分集合$S$、$T$で生成されているとする。このとき、任意の$x\in S$、任意の$y\in T$に対して$xyx^{-1}\in N$かつ$x^{-1}yx\in N$ならば、$N$は正規部分群である。もし$G$が有限群、すなわち群$G$の要素の数が有限個の場合は、条件$xyx^{-1}\in N$だけで十分である。

定理9.の証明

証明の前に記号を導入します。
$g\in G$に対して
$$
gHg^{-1}=\left\{ghg^{-1}\middle|h\in H\right\}
$$
とします。

まず、任意の$x\in S$に対して、$xNx^{-1}\subset N$かつ$x^{-1}Nx\subset N$を示します。
$N$の任意の要素$z$は$T$の要素による語なので、$y_1,\dots,y_n\in T$により$z=y_1^{\pm1}\dots y_n^{\pm1}$という形をしています。
すると、
$$
xy_1^{\pm1}\dots y_n^{\pm1}x^{-1}=xy_1^{\pm1}x^{-1}xy_2^{\pm1}x^{-1}\dots xy_n^{\pm1}x^{-1}
$$
ですが、$xy_ix^{-1}\in N$なので、
$$
\left( xy_ix^{-1}\right)^{-1}=xy_i^{-1}x^{-1}\in N
$$
でもあります。
従って、$xzx^{-1}\in N$です。
$x^{-1}Nx\subset N$となることも同様です。

$G$の任意の要素は$S$の要素による語です。
つまり、$x_1,\dots,x_m\in S$が存在して、$g=x_1^{\pm1}\dots x_m^{\pm1}$という形をしています。
すると、
\begin{eqnarray}
gNg^{-1}&=&\left( x_1^{\pm1}\dots x_m^{\pm1}\right)N\left(x_1^{\pm1}\dots x_m^{\pm1} \right)^{-1}\\
&=&\left( x_1^{\pm1}\dots x_{m-1}^{\pm1}\right)x_m^{\pm1}N\left( x_m^{\pm1}\right)^{-1}\left(x_1^{\pm1}\dots x_{m-1}^{\pm1} \right)^{-1}\\
&\subset&\left( x_1^{\pm1}\dots x_{m-1}^{\pm1}\right)N\left(x_1^{\pm1}\dots x_{m-1}^{\pm1} \right)^{-1}
\end{eqnarray}
です。
$m$に関する数学的帰納法でこれは$N$の要素となります。
従って、$N$は正規部分群です。

※以下、「位数」という先の話を使います。
以下の記事を参照の後、お読み下さい。
【代数学の基礎シリーズ】群論編その4、【代数学の基礎シリーズ】群論編その15

もし、$G$が有限群ならば、$n=\left|G\right|$とすると、任意の$x\in S$に対して$x^n=1_G$です。
$x^{-1}=x^{n-1}$なので、$S$の要素を語として、$x_1,\dots,x_m\in S$により$x_1\cdots x_m$という形をしたものだけを考えれば良いです。
従って、上の証明から、$xyx^{-1}\in N$が任意の$x\in S$、$y\in T$に対して成り立てば十分です。

定理9.の証明終わり

定理9.が述べていることは

正規部分群であることの判定には、$G$、$N$ともに生成元だけ考えればOKだ。

ということです。
定理9.の系として以下を述べておきます。

系10.

$G$を群、$S\subset G$とする。このとき $$ N=\langle \left\{xyx^{-1}\middle|x\in G\ y\in S\right\}\rangle $$ は$S$を含む最小の$G$の正規部分群である。

皆様のコメントを下さい！

今回はガウスについてお話します。

カール・フリードリヒ・ガウス(1777-1855)は、数学史上に燦然と輝く業績を数多く挙げた数学者です。
「数学の王」とも称せられます。
哲学ではカントがそうであるように、すべての数学は一旦ガウスに流れ込み、大きく形を変えてガウスから流れ出たと言っても過言ではありません。
ドイツのブラウンズウィッグで貧しい家に生まれましたが、幼少の頃から数学の才能を示し、フェルディナンド大公の庇護のもとでゲッチンゲン大学で学びます。
代数方程式は常に(複素数)解を持つという「代数学の基本定理」の証明により、1799 年に学位を取得しました。
1807年から終生ゲッチンゲン大学の教授の地位にありました。
天文学・電磁気学に対する貢献も大きいです。

19歳のときに正17角形の作図が可能であることを発見。
これがガウスを数学、特に整数論の研究に向かわせる動機となりました。
整数論に対するガウスの貢献は極めて多大なものであり、その後の代数的整数論の発展に決定的な影響を与えました。
また、ガウスの未発表のノートにおいて展開された楕円関数論は、時代を超越する高度の内容を持ちます。
実際、ガウスの見越していた楕円関数論の道筋は，その後アーベルとヤコビによって完成されました。

ガウスは「完全主義者」であったこともあり、開拓途上ということで、多くの発見を論文や著書として発表することがありませんでした。
複素関数論や位相幾何学に繋がる結果も未発表です。
複素関数論はコーシーにより、位相幾何学は弟子のリスティングを経てポアンカレにより発展されました。
また、ロバチェフスキーとボヤイにより独立に発見された非ユークリッド幾何学も、ガウスが既に知っていたことは、友人への書簡に表明されている内容から明かですが、決して公にされることはありませんでした。
非ユークリッド幾何学の発見は曲面の微分幾何学の創始とともに、ガウスが「空間概念」の新理論に壮大な構想を持っていたことを示唆しています。
ガウスの夢は、1854年にリーマンの教授資格講演の中で実現することになりました。

いかがでしたか？
ガウスは最も偉大な数学者と言っても過言ではないような大数学者です。
ここに書かれている事のほかにでガウスについてご存知のことがあれば是非コメントで教えて下さい！

結

今回は部分群、生成系、正規部分群について解説しました。
部分群とは、部分集合でかつ同じ演算で群となる集合で、生成される部分群は、ある集合を含む最小の部分群、正規部分群は特別な性質を持つ部分群です。

次回は準同型写像について解説します。

乞うご期待！
質問、コメントなどお待ちしております！
どんな些細なことでも構いませんし、「定理〇〇の△△が分からない！」などいただければ全てお答えします！
お問い合わせの内容にもよりますが、ご質問はおおよそ３日以内にお答えします。
もし直ちに回答が欲しければその旨もコメントでお知らせください。直ちに対応いたします。

代数についてより詳しく知りたい方は以下を参考にすると良いと思います！

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名前:名無しさん : 投稿日：2023/02/16(木) 12:06:03 ID：MzODMzOTM

語の定義において、n=1のとき、というのはn=0のとき、だと思われます。
また、正規部分群の判定法において、元の位数が群の位数の約数であることを用いていますが、少なくともこの時点までに扱われてはいないと思います。

アーベル、ガウスの逸話ともに面白かったです！

返信

名前:オノコウスケ : 投稿日：2023/02/19(日) 02:13:32 ID：Y1MDQ3MDI

名無し様

>語の定義において、n=1のとき、というのはn=0のとき、だと思われます。
ご指摘ありがとうございます。
おっしゃるとおりです。訂正いたしました。

>また、正規部分群の判定法において、元の位数が群の位数の約数であることを用いていますが、少なくともこの時点までに扱われてはいないと思います。
ご指摘ありがとうございます。
これもまたおっしゃるとおりでした。追記いたしました。

&gr;アーベル、ガウスの逸話ともに面白かったです！
ありがとうございます。励みになります！

返信

名前:名無しさん : 投稿日：2023/11/02(木) 10:23:36 ID：k4Mzg4NjI

表記が見にくいかもしれませんがどうかお許しください。
「Gを群、S⊂Gとする。x1,…,xn ∈S により x1^±1・x2^±1・ … ・xn^±1 という形をしたGの要素をSの要素による語(word)という。」という記述で質問です。

　「 x1,…,xn ∈S 」ですが、 x1, x2, x3, x4, x5,…,xn はＳの元であれば同じものを繰り返して使ってもよい、と読んでよいのでしょうか？
そしてnもＳの元の個数ということではなく、適当なnと考えればよいのでしょうか？

　最初、Ｓのn個の元をそれぞれ +1乗か-1乗して、演算をすると考えたのですが、それだと群に必要な語(word)が全て生成されないように思えて、不思議でした。たとえば、Ｇ=Ｚ、Ｓ={ 2,4,6 } で、±2±4±6 だと ~~={ -12,-8,-4, 0, 4, 8, 12 } で、群になりません。~~

　群にするには、±2、±4、±6 を必要なだけ使って、
±2±2±2…±4±4±4…±6±6±6…… を計算しないといけないと思うのですが、「x1^±1・x2^±1・ … ・xn^±1 という形をしたGの要素」というのは、そういう解釈でよいのでしょうか？

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名前:オノコウスケ : 投稿日：2023/11/05(日) 00:42:28 ID：kwMDkzODE

名無し様

コメントありがとうございます。
>「 x1,…,xn ∈S 」ですが、 x1, x2, x3, x4, x5,…,xn はＳの元であれば同じものを繰り返して使ってもよい、と読んでよいのでしょうか？そしてnもＳの元の個数ということではなく、適当なnと考えればよいのでしょうか？
とのお問い合わせにつきまして、お答えいたします。

1. 「 x1,…,xn ∈S 」ですが、 x1, x2, x3, x4, x5,…,xn はＳの元であれば同じものを繰り返して使ってもよい、と読んでよいのでしょうか？
おっしゃる通りでございます。群の生成のモチベーションの1つとして、「群の部分集合を含むような部分群を構成したい」というものがあります。
例えば、$G$を群、$S(\neq \emptyset)\subset G$とします。仮に、$S=\left\{x,y\right\}$であったとすれば、$S$を含むような部分群の要素としては$x^{-1}$やら$y^{-1}$やらが存在していなければなりません(群だから)。
また、群である以上、演算について閉じていないといけないため、$xy$も$y^{-1}x^{-1}$も含まれていないといけませんし、これらだけではありません。となると、たくさんパターンがあります。
もう1つ例を挙げれば、$xyx^{-1}y^2x^{-1}$なども要素として含まなければなりません。これを一般化したものが「$ x_1^{\pm1}x_2^{\pm 1}\cdots x_n^{\pm1} $」となるのです。
したがって、$x_1,x_2,\cdots,x_n\in S\subset G$において、$x_i=x_j$なる$1\leq i,j\leq n$が存在してもOKです。

2. そしてnもＳの元の個数ということではなく、適当なnと考えればよいのでしょうか？
おっしゃる通りです。$n$は有限の自然数であれば、何でもOKです。実際、生成された部分群を構成する際、$n$も変数となります。というのも、1.で述べたように$S=\{x,y\}$の時でも、$S$によって生成された部分群は$x^{-1}$や$y^{-1}$だけでなく$xy$や$y^{-1}x^{-1}$、$xyx^{-1}y^2x^{-1}$なども要素として含まなければならないからです。

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