本記事の内容
本記事は、正規化群、中心化群、共役類について解説する記事です。
本記事を読むに当たり、正規部分群、、群作用について知っている必要があるため、以下の記事も合わせてご覧ください。
↓正規部分群の記事
↓群作用の記事
正規化(部分)群
正規化(部分)群の意味としては、要するに、単なる部分群にある操作をすることで正規部分群を作れる、ということです。
正規化(部分)群の数学的な説明
正規化(部分)群
Hを群Gの部分群とする。 NG(H)={g∈G|gHg−1=H} と定め、このNG(H)をHの正規化(部分)群という。「正規化(部分)群という」と言い切っていますが、「本当に正規部分群なの？」ということについて言及しておきます。
命題1.
NG(H)はHを含むGの正規部分群である。命題1.の証明
g=1Gであれば、
gHg−1=1GH1−1G=H
となるので、1G∈NG(H)です。
任意のh∈Hに対して、h∈1GH1−1Gなので、h∈NG(H)となり、H⊂NG(H)です。
任意のg1,g2∈NG(H)に対して、
g1g−12H(g1g−12)−1=g1(g−12Hg2)g−11=g1Hg−1=H
であるから、NG(H)はGの部分群です。
そもそもGの部分群H⊂GがG正規部分群であるとは、gHg−1⊂Hが成り立つことであり、今gHg−1=HであるのでgHg−1⊂HだからNG(H)はGの正規部分群です。
命題1.の証明終わり
正規化部分群は、部分群を正規部分群として含む最大の部分群です。
次が成り立ちます。
命題2.
正規化部分群NG(H)は、Hをその正規部分群として含む部分群の中で、最大なものである。命題2.の証明
K⊃Hを、HがKの正規部分群となるようなGの部分群とします。
任意のg∈Kに対してgHg−1=Hだから、g∈NG(H)であり、故にK⊂NG(H)です。
命題3.の証明終わり
要するにどういうことですか？
冒頭に述べたことに準じた言い方をすると、
ということです。
部分群Hが有限群だった場合
群Gの部分群Hが有限群だった場合、|gHg−1|=|H|<∞です。
故に、gHg−1⊂Hなら、gHg−1=Hです。
しかし、Hが無限集合のときにはgHg−1⊂HであったとしてもgHg−1=Hとは限りません。
例えば、G=GL2(R)で
H={n(u)=(1u01)|u∈Z},g=(2001)
とすると、gn(u)g−1=n(2u)なので、(H:gHg−1)=2となります。
故に、g∉NG(H)です。
中心化群
中心化群は正規化部分群をちょこっと変形したものです。
中心化群
Hが群Gの部分群とする。このとき ZG(H)={g∈G|∀h∈H, gh=hg} をHの中心化群という。また、 Z(G)=ZG(G) と書き、Gの中心という。x∈GでH=⟨x⟩のとき、ZG(H)の代わりにZG(x)とも書き、xの中心化群という。Hの正規化部分群NG(H)は
NG(H)={g∈G|gHg−1=H}
でしたので、NG(H)は
(∀h∈H) ghg−1=h
を満たすようなg∈Gの集合です。
故に、ghg−1=hの両辺にgを演算することでgh=hgが成り立ちます。
そういう意味で「正規化部分群ちょこっと変形したもの」と述べたのです。
ちなみに、Gが可換群であれば、Z(G)=Gです。
なお、g,x∈G、gxg−1=xなら、任意のh∈⟨x⟩に対してghg−1=hとなります。
故に、
ZG(x)={g∈G|gxt−1=x}
です。
共役、共役類
共役、共役類の数学的な説明
いきなりですが、共役、共益類の数学的な説明について述べます。
共役、共役類
群Gの要素x,yに対して、あるg∈Gが存在して、y=gxg−1となるとき、xとyは共役であるという。xと共役である要素の集合をxの共役類といい、C(x)と書く。イメージでいうと、行列の相似のようなものです。
共役類の旨味は次回に解説します。
共益類も有限群の特徴を捉えるのに良い武器になります。
共役による作用
ここで、共役による作用について述べておきます。
Gを群、X=Gとします。
g∈G、h∈Xとするとき、Ad(g)(h)=ghg−1と定めます。
g1,g2,h∈Gなら、
Ad(g1g2)(h)=(g1g2)h(g1g2)−1=g1(g2hg−12)g−12=Ad(g1)(Ad(g2)(h))
です。
G×XからXへの写像を(g,x)↦Ad(g)(x)で定めると、これは左作用になります。
この作用のことを共役による作用といいます。
共役類は同値類です。
yがxに共役であることは、GのG自身への共益に依る作用でyがxの軌道の要素であることを意味しています。
ここで、次の事実を使います。
系5.
群Gが集合Xに作用するとき、x,y∈XでGx=Gyのときにx∼yとして関係を定める。このときの関係∼はX上の同値関係である。また、この同値関係による剰余類はX上の軌道と一対一対応する。系5.の証明は【代数学の基礎シリーズ】群論編 その14を御覧ください。
系5.から、x,y∈Gが共役であるというのはG上の同値関係であり、競泳気類はその同値類です。
例
G=G3(対称群)の自分自身への共役による作用を考えます。
x=(1 2)とすると、Gx=ZG(x)です。
xは自分自身と可換なので、(1 2)∈ZG(x)です。
故に、⟨(1 2)⟩⊂ZG(x)です。
|ZG(x)|は2以上で6の約数なので、ZG(x)=⟨(1 2)⟩またはZG(x)=Gです。
ZG(x)=Gであれば、xはGの全ての要素と可換です。
しかし、
(1 2 3)(1 2)(1 3 2)=(2 3)
なので、(1 2)は(1 2 3)は可換ではありません。
これは矛盾なので、ZG(x)=⟨(1 2)⟩です。
従って、|C(x)|=62=3です。
(1 3 2)(1 2)(1 2 3)=(1 3)
なので、C(x)={(1 2),(1 3),(2 3)}です。
ちなみに、Z(G)⊂ZG(x)ですが、(1 2)は(1 2 3)と可換ではないので、(1 2)∉Z(G)です。
従って、Z(G)={1}です。
皆様のコメントを下さい！
今回はヒルベルトです。
ヒルベルト(1862-1943)は、ケーニヒスベルグ生まれのドイツの数学者。
数学万能者であり、19世紀後半から20世紀前半にかけての最大級の数学者の一人です。
1885年に不変式論に関する論文によりケーニヒスベルク大学から学位を取得しました。
翌年同大学講師、1892年に教授に昇格しました。
クラインの招きで1895年にゲッチンゲン大学教授になり、以後終生その職にありました。
幾何学基礎論、代数的整数論、ポテンシャル論、積分方程式論、数学基礎論など、数学の広い分野で活躍し、ワイルやデーンなど多くの優秀な弟子を育てました。
幾何学基礎論では、ユークリッドの原論に書かれている内容の不完全性を指摘し、完全な公理系を打ち立てることにより、厳密な幾何学理論を再構成しています。
また、ガウス、ディリクレの系譜上にある代数的整数論は、ヒルベルトの主要な業績の1つであり、現代整数論の基点となりました。
ヒルベルトの名は、ヒルベルト空間、ヒルベルト変換、ヒルベルトの保形形式など、多くの概念に冠せられています。
1900年にパリで開催された国際会議において提出した23の未解決問題は、20世紀の数学の発展に大きな刺激を与えました。
如何でしたか？
数学をやっている方はヒルベルト空間で初めてヒルベルトという名前と出会うのではないでしょうか？
経歴を見るに、万能の数学者ですね。
ここに書かれれいる事の他にヒルベルトについてご存知のことがあれば、是非コメントで教えて下さい！
結
今回は、正規化部分群、中心化群、共益、共益類について解説しました。
特に正規化部分群は、部分群さえ与えられれば(見つけられれば)、その部分群を用いて正規部分群を作り出すことができるということを示唆しています。
それにより第二、第三同型定理を使うことが出来、より群に対して観察することが出来ます。
中心化群は正規部分群をちょこっと変形したもので、共役は行列の相似のようなものです(次回性質を解説)。
共益類は「共益である」ということが同値関係のため、この同値関係の同値類です。
次回は共益類の性質と類等式について解説します。
乞うご期待！
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記事全体を通して，正規化群N_G(H)がGの正規部分群であるという記述をなさっていますが，記事中で説明していることは，N_G(H)がGの部分群であり，Hを正規部分群として含む，ということではないでしょうか？
また，N_G(H)がGの正規部分群であるということはそもそも事実でしょうか？証明を試みましたができませんでした．
名無し様
ご指摘ありがとうございます。
私が間違っておりました。
該当部分を訂正致しました。
>N_G(H)がGの正規部分群であるということはそもそも事実でしょうか？
一般に事実ではありません。私の間違いでした。申し訳ございませんでした。