「正規化(部分)群、中心化群、共役類とは？」【代数学の基礎シリーズ】群論編 その16

本記事の内容

本記事は、正規化群、中心化群、共役類について解説する記事です。

本記事を読むに当たり、正規部分群、、群作用について知っている必要があるため、以下の記事も合わせてご覧ください。

↓正規部分群の記事

「部分群とは？」「生成系とは？」「正規部分群とは？」丁寧に解説！【代数学の基礎シリーズ】群論編 その2

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↓群作用の記事

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正規化(部分)群

正規化(部分)群の意味としては、要するに、単なる部分群にある操作をすることで正規部分群を作れる、ということです。

正規化(部分)群の数学的な説明

「正規化(部分)群という」と言い切っていますが、「本当に正規部分群なの？」ということについて言及しておきます。

命題1.の証明

\(g=1_G\)であれば、
$$
gHg^{-1}=1_GH1_G^{-1}=H
$$
となるので、\(1_G\in {\rm N}_G(H)\)です。
任意の\(h\in H\)に対して、\(h\in 1_GH1_G^{-1}\)なので、\(h\in {\rm N}_G(H)\)となり、\(H\subset {\rm N}_G(H)\)です。

任意の\(g_1,g_2\in {\rm N}_G(H)\)に対して、
$$
g_1g_2^{-1}H\left( g_1g_2^{-1}\right)^{-1}=g_1\left( g_2^{-1}Hg_2\right)g_1^{-1}=g_1Hg^{-1}=H
$$
であるから、\({\rm N}_G(H)\)は\(G\)の部分群です。

そもそも\(G\)の部分群\(H\subset G\)が\(G\)正規部分群であるとは、\(gHg^{-1}\subset H\)が成り立つことであり、今\(gHg^{-1}=H\)であるので\(gHg^{-1}\subset H\)だから\({\rm N}_G(H)\)は\(G\)の正規部分群です。

命題1.の証明終わり

正規化部分群は、部分群を正規部分群として含む最大の部分群です。

次が成り立ちます。

命題2.の証明

\(K\supset H\)を、\(H\)が\(K\)の正規部分群となるような\(G\)の部分群とします。
任意の\(g\in K\)に対して\(gHg^{-1}=H\)だから、\(g\in{\rm N}_G(H)\)であり、故に\(K\subset {\rm N}_G(H)\)です。

命題3.の証明終わり

要するにどういうことですか？

冒頭に述べたことに準じた言い方をすると、

ということです。

部分群\(H\)が有限群だった場合

群\(G\)の部分群\(H\)が有限群だった場合、\(\left|gHg^{-1}\right|=\left|H\right|<\infty\)です。
故に、\(gHg^{-1}\subset H\)なら、\(gHg^{-1}=H\)です。
しかし、\(H\)が無限集合のときには\(gHg^{-1}\subset H\)であったとしても\(gHg^{-1}=H\)とは限りません。

例えば、\(G={\rm GL}_2(\mathbb{R})\)で
$$
H=\left\{
n(u)=
\begin{pmatrix}
1&u \\
0&1
\end{pmatrix}
\middle|u\in \mathbb{Z}
\right\},\quad
g=
\begin{pmatrix}
2&0 \\
0&1
\end{pmatrix}
$$
とすると、\(gn(u)g^{-1}=n(2u)\)なので、\((H:gHg^{-1})=2\)となります。
故に、\(g\not\in {\rm N}_G(H)\)です。

中心化群

中心化群は正規化部分群をちょこっと変形したものです。

\(H\)の正規化部分群\({\rm N}_G(H)\)は
$$
{\rm N}_G(H)=\left\{g\in G\middle| gHg^{-1}=H\right\}
$$
でしたので、\({\rm N}_G(H)\)は
$$
(\forall h\in H)\ ghg^{-1}=h
$$
を満たすような\(g\in G\)の集合です。
故に、\(ghg^{-1}=h\)の両辺に\(g\)を演算することで\(gh=hg\)が成り立ちます。
そういう意味で「正規化部分群ちょこっと変形したもの」と述べたのです。

ちなみに、\(G\)が可換群であれば、\({\rm Z}(G)=G\)です。
なお、\(g,x\in G\)、\(gxg^{-1}=x\)なら、任意の\(h\in \langle x\rangle\)に対して\(ghg^{-1}=h\)となります。
故に、
$$
{\rm Z}_G(x)=\left\{g\in G\middle|gxt^{-1}=x\right\}
$$
です。

共役、共役類

共役、共役類の数学的な説明

いきなりですが、共役、共益類の数学的な説明について述べます。

イメージでいうと、行列の相似のようなものです。

共役類の旨味は次回に解説します。
共益類も有限群の特徴を捉えるのに良い武器になります。

共役による作用

ここで、共役による作用について述べておきます。

\(G\)を群、\(X=G\)とします。
\(g\in G\)、\(h\in X\)とするとき、\({\rm Ad}(g)(h)=ghg^{-1}\)と定めます。
\(g_1,g_2,h\in G\)なら、
$$
{\rm Ad}(g_1g_2)(h)=(g_1g_2)h(g_1g_2)^{-1}=g_1\left( g_2hg_2^{-1}\right)g_2^{-1}={\rm Ad}(g_1)\left( {\rm Ad}(g_2)(h)\right)
$$
です。
\(G\times X\)から\(X\)への写像を\((g,x)\mapsto {\rm Ad}(g)(x)\)で定めると、これは左作用になります。
この作用のことを共役による作用といいます。

共役類は同値類です。

\(y\)が\(x\)に共役であることは、\(G\)の\(G\)自身への共益に依る作用で\(y\)が\(x\)の軌道の要素であることを意味しています。
ここで、次の事実を使います。

系5.の証明は【代数学の基礎シリーズ】群論編 その14を御覧ください。

系5.から、\(x,y\in G\)が共役であるというのは\(G\)上の同値関係であり、競泳気類はその同値類です。

例

\(G=\mathcal{G}_3\)(対称群)の自分自身への共役による作用を考えます。
\(x=(1\ 2)\)とすると、\(G_x={\rm Z}_G(x)\)です。
\(x\)は自分自身と可換なので、\((1\ 2)\in {\rm Z}_G(x)\)です。
故に、\(\langle (1\ 2)\rangle\subset{\rm Z}_G(x)\)です。
\(\left|{\rm Z}_G(x)\right|\)は\(2\)以上で\(6\)の約数なので、\({\rm Z}_G(x)=\langle (1\ 2)\rangle\)または\({\rm Z}_G(x)=G\)です。

\({\rm Z}_G(x)=G\)であれば、\(x\)は\(G\)の全ての要素と可換です。
しかし、
$$
(1\ 2\ 3)(1\ 2)(1\ 3\ 2)=(2\ 3)
$$
なので、\((1\ 2)\)は\((1\ 2\ 3)\)は可換ではありません。
これは矛盾なので、\({\rm Z}_G(x)=\langle (1\ 2)\rangle\)です。
従って、\(\displaystyle\left|C(x)\right|=\frac{6}{2}=3\)です。
$$
(1\ 3\ 2)(1\ 2)(1\ 2\ 3)=(1\ 3)
$$
なので、\(C(x)=\left\{(1\ 2),(1\ 3),(2\ 3)\right\}\)です。

ちなみに、\({\rm Z}(G)\subset{\rm Z}_G(x)\)ですが、\((1\ 2)\)は\((1\ 2\ 3)\)と可換ではないので、\((1\ 2)\not\in {\rm Z}(G)\)です。
従って、\({\rm Z}(G)=\left\{1\right\}\)です。

皆様のコメントを下さい！

今回はヒルベルトです。

ヒルベルト(1862-1943)は、ケーニヒスベルグ生まれのドイツの数学者。
数学万能者であり、19世紀後半から20世紀前半にかけての最大級の数学者の一人です。
1885年に不変式論に関する論文によりケーニヒスベルク大学から学位を取得しました。
翌年同大学講師、1892年に教授に昇格しました。
クラインの招きで1895年にゲッチンゲン大学教授になり、以後終生その職にありました。
幾何学基礎論、代数的整数論、ポテンシャル論、積分方程式論、数学基礎論など、数学の広い分野で活躍し、ワイルやデーンなど多くの優秀な弟子を育てました。
幾何学基礎論では、ユークリッドの原論に書かれている内容の不完全性を指摘し、完全な公理系を打ち立てることにより、厳密な幾何学理論を再構成しています。
また、ガウス、ディリクレの系譜上にある代数的整数論は、ヒルベルトの主要な業績の1つであり、現代整数論の基点となりました。
ヒルベルトの名は、ヒルベルト空間、ヒルベルト変換、ヒルベルトの保形形式など、多くの概念に冠せられています。
1900年にパリで開催された国際会議において提出した23の未解決問題は、20世紀の数学の発展に大きな刺激を与えました。

如何でしたか？
数学をやっている方はヒルベルト空間で初めてヒルベルトという名前と出会うのではないでしょうか？
経歴を見るに、万能の数学者ですね。
ここに書かれれいる事の他にヒルベルトについてご存知のことがあれば、是非コメントで教えて下さい！

結

今回は、正規化部分群、中心化群、共益、共益類について解説しました。
特に正規化部分群は、部分群さえ与えられれば(見つけられれば)、その部分群を用いて正規部分群を作り出すことができるということを示唆しています。
それにより第二、第三同型定理を使うことが出来、より群に対して観察することが出来ます。

中心化群は正規部分群をちょこっと変形したもので、共役は行列の相似のようなものです(次回性質を解説)。
共益類は「共益である」ということが同値関係のため、この同値関係の同値類です。

次回は共益類の性質と類等式について解説します。

乞うご期待！
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