関数はどんなときに可積分なの？

本記事の内容
今回と次回の目標
前回までの記号の復習(今回使う部分だけ)
可積分条件の証明
読者の皆様のコメントをください！
結

本記事の内容

本記事は可積分条件、すなわち、関数がどういうときに積分可能なのかということを説明する記事です。
特に、有界閉集合上で定められた有界な関数が積分可能なときの必要十分条件を説明します。

本記事を読むにあたり、積分について知っている必要があるため、以下の記事も合わせてご覧ください。

今回と次回の目標

今回と次回の目標は、有界閉集合上で定められた有界な関数が可積分であるための必要十分条件を求めることです。

より具体的には以下の定理を示すことです。

定理0.(可積分条件)

$I$ を

$\mathbb{R}^n$ の有界閉集合とするとき、

$I$ 上の有界な実数値関数

$f:I\to \mathbb{R}$ に対して、次の1.~5.は同値である。

$f$ は $I$ 上で(リーマン)可積分である。
$\displaystyle\lim_{d(\Delta)\to0}\left( S_\Delta-s_\Delta\right)=0$
リーマンの可積分条件

$I_k\ (k\in K(\Delta))$

$f$

$a(f,I_k)=M_k-m_k$

$\lim_{d(\Delta)\to0}\sum_{k\in K(\Delta)}a(f,I_k)v(I_k)=0$

ダルブーの可積分条件

$S=s$

$\underline{\int_I} f(\boldsymbol{x})\ d\boldsymbol{x}=\overline{\int_I}f(\boldsymbol{x})\ d\boldsymbol{x}$

任意の $\varepsilon>0$ に対して、 $S_\Delta-s_\Delta<\varepsilon$ となる $I$ の分割 $\Delta$ が存在する。

　そして、これらの条件が満たされるとき、

$\int_If(\boldsymbol{x})\ d\boldsymbol{x}=S=s$ が成り立つ。

つまり、有界閉集合上で定められた有界な関数が可積分であるかを調べる際には、上記の5つの戦略がある、ということです。

本記事では、1. $\Longrightarrow$ 2.、2. $\Longleftrightarrow$ 3.、2. $\Longleftrightarrow$ 4.を示します。

前回までの記号の復習(今回使う部分だけ)

さて、定理0.を示すことが今回と次回(次々回かもしれません)の目標なわけですが、ここで記号の復習をしておきます。

記号の復習は不要だ、という方は可積分条件の証明までジャンプしてください。

リーマン可積分

幅(mesh)

幅(mesh)

分割

$\Delta$ の小区間

$I_k$ の直径を

$d(I_k)$ としたとき、

$d(\Delta)=\max_{k\in K(\Delta)}d(I_l)$ を分割

$\Delta$ の幅(mesh、メッシュ)という。

リーマン和

リーマン和

$n$ 次元有界閉区間

$I$ 上で定められた実数値関数に対して、区間

$I$ の任意の分割

$\Delta$ に対し、

$\Delta$ により得られる各小区間

$I_k\ (k\in K(\Delta))$ の中から任意に１点

$\boldsymbol{\xi}_k$ (これを

$I_k$ の代表点という)を取って作った和

$s\left(f;\Delta;\boldsymbol{\xi} \right)=\sum_{k\in K(\Delta)}f\left( \boldsymbol{\xi}_k\right)v\left( I_k\right)$ を

$f$ の

$\Delta$ に関するリーマン和(Riemann sums)という。

リーマン可積分

$n$ 次元有界閉区間

$I$ 上で定められた実数値関数に対して、区間

$I$ の任意の分割

$\Delta$ に対し、

$\Delta$ により得られる各小区間を

$I_k\ (k\in K(\Delta))$ とする。このとき、ある実数

$J$ が存在して、

$I_k$ の代表点

$\boldsymbol{\xi}_k$ の取り方によらず、

$\lim_{d(\Delta)\to0}s\left(f;\Delta;\boldsymbol{\xi} \right)\left(=\lim_{d(\Delta)\to0}\sum_{k\in K(\Delta)}f\left( \boldsymbol{\xi}_k\right)v\left( I_k\right)\right)=J$ となるとき、

$f$ は

$I$ 上で(リーマン)可積分であるといい、

$J$ を

$f$ の

$I$ 上での(リーマン)積分という。そして、

$J=\int_If=\int_If(\boldsymbol{x})\ d\boldsymbol{x}=\int\dots\int_If(x_1,\dots,x_n)\ dx_1\cdots dx_n$ などと書く。

不足和、過剰和

不足和、過剰和

$\mathbb{R}^n$ の区間

$I$ の任意の分割

$\Delta$ に対して、

$\Delta$ により得られる各小区間

$I_k\ (k\in K(\Delta))$ において、

$m_k=\inf_{\boldsymbol{x}\in I_k}f(\boldsymbol{x}),\quad M_k=\sup_{\boldsymbol{x}\in I_k}f(\boldsymbol{x})$ とする。このとき、和

$s_{\Delta}=\sum_{k\in K(\Delta)}m_kv(I_k),\quad S_\Delta=\sum_{k\in K(\Delta)}M_kv(I_k)$ をそれぞれ分割

$\Delta$ に関する

$f$ の不足和、過剰和という。

振幅

$\mathbb{R}^n$ の有界閉集合を

$I$ とする。有界な実数値関数

$f:I\to\mathbb{R}$ に対して、

$m=\inf_{\boldsymbol{x}\in I}f(\boldsymbol{x}),\quad M=\sup_{\boldsymbol{x}\in I}f(\boldsymbol{x})$ として、

$M-m$ 、すなわち

$\displaystyle\sup_{\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in I}\left|f(\boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{y})\right|$ を

$f$ の

$I$ における振幅といい、

$a(f,I)$ で表す。

上積分、下積分

上積分、下積分

$\mathbb{R}^n$ の区間

$I$ の分割全体の集合を

$\mathcal{D}$ 、

$s_\Delta$ および

$S_\Delta$ をそれぞれ不足和、過剰和とする。このとき

上積分

$S=\inf_{\Delta\in\mathcal{D}}S_\Delta$

$f$

$I$

上積分

$S=S(f)=\overline{\int_I}f(\boldsymbol{x})\ d\boldsymbol{x}=\overline{\int_I}f$

下積分

$s=\sup_{\Delta\in\mathcal{D}}s_\Delta$

$f$

$I$

下積分

$s=s(f)=\underline{\int_I}f(\boldsymbol{x})\ d\boldsymbol{x}=\underline{\int_I}f$

ダルブーの定理

定理2.(ダルブーの定理)

$I$ を

$\mathbb{R}^n$ の閉区間とする。このとき、任意の有界な実数値関数

$f:I\to\mathbb{R}$ に対して常に

$\lim_{d(\Delta)\to0}s_\Delta=s,\quad \lim_{d(\Delta)\to0}S_\Delta=S$ が成り立つ。

定理2.(ダルブーの定理)の証明は【解析学の基礎シリーズ】積分編その3を御覧ください。

可積分条件の証明

では、定理0.の前半の証明を行っていきます。

定理0.の証明(前半)

①1. $\Longrightarrow$ 2.の証明

$I$ を $\mathbb{R}^n$ の有界閉集合として、実数値関数 $f:I\to\mathbb{R}$ が $I$ 上で可積分であるとします。
すなわち、ある実数 $J$ が存在して、
$\int_If(\boldsymbol{x})\ d\boldsymbol{x}=J$
です。
つまり、
$\lim_{d(\Delta)\to0}s\left(f;\Delta;\boldsymbol{\xi} \right)=\lim_{d(\Delta)\to0}\sum_{k\in K(\Delta)}f\left( \boldsymbol{\xi}_k\right)v\left( I_k\right)=J$
が成り立っているということですので、任意の $\varepsilon>0$ に対してある $\delta>0$ が存在して、 $d(\Delta)<\delta$ となる任意の分割 $\Delta$ と代表点 $\boldsymbol{\xi}_k\ (k\in K(\Delta))$ に対して
$-\varepsilon<\sum_{k\in K(\Delta)}f\left( \boldsymbol{\xi}_k\right)v\left( I_k\right)<\varepsilon$
が分割 $\Delta$ と代表点 $\boldsymbol{\xi}_k$ のとり方によらず成り立っているということです。
ここで、 $\varepsilon>0$ は任意ですので、 $\varepsilon$ を $\displaystyle\frac{\varepsilon}{2}$ と書き換えても成り立ちます。
故に
$-\frac{\varepsilon}{2}<\sum_{k\in K(\Delta)}f\left( \boldsymbol{\xi}_k\right)v\left( I_k\right)<\frac{\varepsilon}{2}$
が成り立っています。

さて、 $\boldsymbol{\xi}_k$ を $I_k$ の中で動かしたときの $f(\boldsymbol{\xi}_k)$ の上限、下限が $M_k$ 、 $m_k$ だったわけですから、 $f$ と $\Delta$ を固定して、 $I_k$ の代表点 $\boldsymbol{\xi}_k$ を $I_k$ の中で動かしたときの $s\left(f;\Delta;\boldsymbol{\xi} \right)$ の上限、下限が $S_\Delta$ 、 $s_\Delta$ です。

従って、先程の不等式から、
$-\frac{\varepsilon}{2}\leq S_\Delta-J\leq\frac{\varepsilon}{2},\quad -\frac{\varepsilon}{2}\leq s_\Delta-J\leq\frac{\varepsilon}{2}$
が成り立ちます。
そこで、 $d(\Delta)<\delta$ であれば、
$0\leq S_\Delta-s_\Delta\leq \varepsilon$
ということになりますので、これはまさに2.を指しています。

②2. $\Longleftrightarrow$ 3.の証明

$\lim_{d(\Delta)\to0}\left( S_\Delta-s_\Delta\right)=0$
だとします。

$S_\Delta$ と $s_\Delta$ はそれぞれ
$S_\Delta=\sum_{k\in K(\Delta)}M_kv(I_k),\quad s_{\Delta}=\sum_{k\in K(\Delta)}m_kv(I_k)$
であるため、
$\begin{eqnarray} \lim_{d(\Delta)\to0}\sum_{k\in K(\Delta)}\left( S_\Delta-s_\Delta\right)&=&\lim_{d(\Delta)\to0}\left( \sum_{k\in K(\Delta)}M_kv(I_k)-\sum_{k\in K(\Delta)}m_kv(I_k)\right)\\ &=&\lim_{d(\Delta)\to0}\sum_{k\in K(\Delta)}(M_k-m_k)v(I_k)\\ \end{eqnarray}$
です。
ここで、
$a(f,I_k)=M_k-m_k$
なわけですので、
$\lim_{d(\Delta)\to0}\sum_{k\in K(\Delta)}\left( S_\Delta-s_\Delta\right) =\lim_{d(\Delta)\to0}\sum_{k\in K(\Delta)}a(f,I_k)v(I_k)=0$
となって、2. $\Longrightarrow$ 3.です。
この式変形を逆から行っていけば2. $\Longleftarrow$ 3.も成り立つことがわかります。

③2. $\Longleftrightarrow$ 4.の証明

$\lim_{d(\Delta)\to0}\left( S_\Delta-s_\Delta\right)=0$
だとします。
すると、
$\lim_{d(\Delta)\to0}S_\Delta=\lim_{d(\Delta)\to0}s_\Delta$
です。
ここで、ダルブーの定理から、
$\lim_{d(\Delta)\to0}s_\Delta=s,\quad \lim_{d(\Delta)\to0}S_\Delta=S$
ですので、 $S=s$ です。

一方で、 $S=s$ だとすると、
$\lim_{d(\Delta)\to0}S_\Delta=\lim_{d(\Delta)\to0}s_\Delta$
により
$\lim_{d(\Delta)\to0}\left( S_\Delta-s_\Delta\right)=0$
です。

定理0.の証明(前半)終わり

※本当に定理0.で可積分かどうかを判定する事ができるか、を確かめる例は次回に定理0.の証明が終わった段階で行います。

読者の皆様のコメントをください！

「数学者は変人が多い」という話をよく聞きませんか？
実際、歴史上の数学者には数々の逸話が残っています。

中でも筆者が「なんじゃそれは」と思ったのがオイラーの話です。
※これは有名ですのでご存じの方も多いと思います。

かの”世界一美しい公式”と言われる $e^{i\pi}=-1$ に名を残す大数学者です。
どういう理由だったかは諸説あるようですが、オイラーは失明しています。
しかし、失明したほうが余計なものが見えなくて、むしろ良い。ということで論文の執筆がより活発になったそうです。

「紙に書かなくても分かるってことか…すご…」というのが筆者の第一印象でした。

皆様が知っている、数学者(に限らず)の天才エピソードを是非コメントで教えて下さい！

結

今回は、有界閉集合上で定められた有界な関数が可積分であるための必要十分条件のうち半分を証明しました。
今回証明したことを平たく言うと、

不足和と過剰和の差の極限が $0$ である。
振幅のリーマン和が $0$ に収束する。
上積分と下積分に極限が存在してそれらが一致している。

ということです。

もっともっと平たく言うと、これらは

上からのリーマン和の極限と下からのリーマン和の極限が一致している。

ということです。
関数の連続を考えたときの「左右極限の一致」と似ていますね！

次回(または次々回)は可積分条件②として、残りの条件について考察します。

乞うご期待！
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