「連続な多変数ベクトル値関数の和・差もの連続な関数」【解析学の基礎シリーズ】多変数関数編 その9

本記事の内容

本記事は連続な多変数ベクトル値関数の和、差もまた連続な関数だということを説明する記事です。
本記事を読むにあたり、多変数ベクトル値関数の連続について知っている必要があるため、その際は以下の記事を参照してください

「多変数ベクトル値関数の連続のイメージをつかもう！」【解析学の基礎シリーズ】多変数関数編 その7

本記事の内容本記事は多変数ベクトル値関数のイメージを説明する記事です。本記事を読むにあたり、多変数ベクトル値関数のグラフと1変数実数値関数の連続について知っているとよりイメージが膨らむと思われますので、その際は以下の記事を参照してください。

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「多変数ベクトル値関数の連続って数学的に何？」「実際に証明してみよう！」【解析学の基礎シリーズ】多変数関数編 その8

本記事の内容本記事は多変数ベクトル値関数の連続を数学的に明示し、具体例を証明する記事です。本記事を読むにあたり、多変数ベクトル値関数の極限について知っている必要があるため、その際は以下の記事を参照してください。多変数ベクトル値関数の連続のイ

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多変数ベクトル値関数の連続のチャラい復習

多変数ベクトル値関数の連続をチャラく復習します。
イメージとしては

サラッとですが、イメージを復習しておきます。

• 実数値関数の場合
  • 曲面の場合、定義域(領域)内のとある点において、穴が無い。もしくは、定義域(領域)内のどの点でも穴が無い。
  • 曲線の場合、定義域(領域)内のとある点において、途切れていない。もしくは、定義域(領域)内のどの点でも途切れていない。
• ベクトル値関数の場合
  矢印が連続的に変化する。

でした。

一方これを数学で表現すると、

でした。
さらに、

から多変数ベクトル値関数が連続かどうかは成分ごとに考えれば良い、ということでした。
詳しくは、【解析学の基礎シリーズ】多変数関数編 その8を御覧ください。

連続な多変数ベクトル値関数の和、差もまた連続な関数

定義域と終域が一致している連続な多変数ベクトル値関数同士は、和、差をとってもまた連続な関数です。
まずは、主張を明示してしまいましょう。

さて、実はこれの証明は既に行っているようなものです。
というのも、次を既に証明しているからです。

この事実(定理2.)の証明は【解析学の基礎シリーズ】多変数関数編 その3を御覧ください。

定理1.は定理2.において、\(\boldsymbol{A}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a})\)、\(\boldsymbol{B}=\boldsymbol{g}(\boldsymbol{a})\)とすれば良いからです。

そういう意味で定理1.の証明は既に終わっているようなもの、ということです。

本当に成り立つのかネ？

毎度のことながら成り立ちます。
簡単ではありますが、例を挙げましょう。

例1. \(\boldsymbol{f}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\)と\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\)が
$$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\left(
\begin{array}{c}
x \\
-y\\
\end{array}\right),\quad
\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})=\left(
\begin{array}{c}
y \\
x\\
\end{array}\right)
$$
で定められているとします。
このとき、\(\boldsymbol{f}\)と\(\boldsymbol{g}\)は\((1,1)\)で連続です。
すなわち、
$$\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to(1,1)}(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})+\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}))=\lim_{\boldsymbol{x}\to(1,1)}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})+\lim_{\boldsymbol{x}\to(1,1)}\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})=
\left(\begin{array}{c} 2\\ 0\\ \end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c}f_1(1,1)+g_1(1,1)\\ f_2(1,1)+g_2(1,1)\end{array}\right)$$
です。

これは既に、【解析学の基礎シリーズ】多変数関数編 その3で証明しています。

例2. 例1.と同様に \(\boldsymbol{f}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\)と\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\)が
$$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\left(
\begin{array}{c}
x \\
-y\\
\end{array}\right),\quad
\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})=\left(
\begin{array}{c}
y \\
x\\
\end{array}\right)
$$
で定められているとします。
このとき、\(\boldsymbol{f}\)と\(\boldsymbol{g}\)は任意の\(\boldsymbol{a}=(a,b)\in\mathbb{R}^2\)で連続です。
実際、
$$\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})+\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}))=\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})+\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})=
\left(\begin{array}{c} 2a\\ a-b\\ \end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c}f_1(a,b)+g_1(a,b)\\ f_2(a,b)+g_2(a,b)\end{array}\right)$$
です。

結

今回は、連続な多変数ベクトル値関数の和、差もまた連続な関数だ、ということを説明しました。
これは結局、多変数ベクトル値関数の和、差の極限から直ちに分かります。

次回は連続な多変数ベクトル値関数と連続な実数値関数の積もまた連続な関数(条件が必要です)である、連続な多変数ベクトル値関数の内積もまた連続な関数である、ということを説明します。

乞うご期待！質問、コメントなどお待ちしております！