「ちゃんとしたテイラー展開の話」「代表例を計算してみよう！」【解析学の基礎シリーズ】1変数実数値関数の微分編その11

本記事の内容
テイラーの定理とテイラー展開のチャラい復習
1. テイラーの定理
2. テイラー展開
しっかりとしたテイラー展開の話をしましょう。
1. 厳密なテイラー展開
テイラー展開とマクローリン展開の代表例
本当に近似できてるのかネ？
結

本記事の内容

本記事はテイラー展開のイメージを説明し、代表的な例を実際に計算してみる記事です。

本記事を読むにあたり、テイラーの定理とベキ級数の収束半径を知っている必要があるため、以下の記事も合わせてご覧ください。

↓テイラー展開の記事

↓ベキ級数の収束半径の記事

テイラーの定理とテイラー展開のチャラい復習

テイラーの定理とテイラー展開をチャラく復習します。

テイラーの定理

テイラーの定理はなんだったっけ？というと、以下でした。

テイラーの定理 $n\in\mathbb{N}$、$I$は$\mathbb{R}$の区間、$f:I\to\mathbb{R}$は$n$階微分可能な関数、$a\in I$、$x\in I$とするとき、 $$ f(x)=f(a)+\frac{f^\prime(a)}{1!}(x-a)+\frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}(x-a)^2+\dots+\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(x-a)^{n-1}+R_n $$ と書いて$R_n$を定めれば、 $$ R_n=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-a)^n $$ を満たすような$c$が$a$と$x$の間に、すなわち$a<x$ならば$c\in(a,x)$に、$x<a$ならば$c\in(x,a)$に、$a=x$ならば$c=a$として存在する。

この定理の証明は【解析学の基礎シリーズ】1変数実数値関数の微分編その10を御覧ください。

この$R_n$を$n$次剰余項とよび、この形で表される剰余項をLagrange(ラグランジュ)剰余項と呼ぶのでした。

テイラー展開

テイラーの定理の$R_n$に注目してみると、
$$
R_n=\frac{f^{(k)}(c)}{n!}(x-a)^n
$$
ですので、$R_n$は$x$に依存します。
言い換えれば、変数を$x$とする関数です。
故に、以降は$R_n$を$R_k(x)$と書き直します。

この$R_n$がある点$a$の十分近くで$\displaystyle\lim_{n\to\infty}R_n(x)=0$が成り立てば、
$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n
$$
が成り立ちます。
これを$f$の$a$を中心とするテイラー展開といったのでした。

しっかりとしたテイラー展開の話をしましょう。

先程、チャラくテイラー展開について復習しましたが、チャラさを置いておいても実は厳密ではありません。

「十分近くって何かネ？」やらと色々疑問が出てきます。
確かに、「何となく分かる」かなと思いますが、「なんとなく」というのは数学ではあまり意味を持ちません。
そこで厳密な話をしようと思います。

余談(読み飛ばしてOK)

テイラー展開をググってみると、「こうやって計算するんだ！」「これは公式だ！」というように、ちょろっと計算してその結果を列挙している記事は多々見つかるのですが、収束半径まで踏み込んだ記事はあまりなさそうに見受けられます(筆者調べ)。
テイラー展開はある条件下の関数をベキ級数での表現なので、本来は収束半径やらを考察する必要があります。
本記事はそこまで踏み込んだ話をしようと思います

厳密なテイラー展開

さて、テイラー展開を厳密な定理として書くと、以下です。

定理1.(テイラー展開とその条件)

テイラー展開

テイラー展開

テイラー展開可能な条件

1.テイラー展開については、すでに前回証明しているので、【解析学の基礎シリーズ】1変数実数値関数の微分編その10を御覧ください。

本記事の主たる目標の１つが2.テイラー展開可能な条件です。

これを示すためには、ratio test(証明の道中で明示します)が必要になります。

定理1.の証明

繰り返しになりますが、1.についてはすでに証明しているので、【解析学の基礎シリーズ】1変数実数値関数の微分編その10を御覧ください。

2.を証明します。
$$
R_n(x)=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-a)^n
$$
であり、定数$C\geq0$、$M\geq0$が存在して、任意の$n\in\mathbb{N}$および$x\in I$に対して
$$
\left|f^{(n)}(x)\right|\leq CM^n
$$
を満たすとします。
$x\in I$は任意なので、テイラーの定理で存在が保証されている$I$の内点$c\in I$に対して、
$$
\left|R(x)\right|=\frac{\left|f^{(n)}(c)\right|}{n!}|x-a|^n\leq C\frac{M^n}{n!}|x-a|^n
$$
です。
ここで、ratio testを使います。

定理2.(ratio test) 正項級数$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$に対して、 $$ \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=l\in\mathbb{R} $$ が存在して、$l<1$ならば$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$は収束し、$l>1$ならば$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$は発散する。また、極限が存在しない場合、すなわち$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\infty$の場合も$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$は発散する。

定理2.(ratio test)の証明は【解析学の基礎シリーズ】級数とベキ級数編その1を御覧ください。

$$
a_n=C\cdot \frac{M^n}{n!}|x-a|^n
$$
として、定理2.(ratio test)を使うと、
\begin{eqnarray}
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}&=&\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle C\cdot \frac{M^{n+1}}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}}{\displaystyle C\cdot \frac{M^n}{n!}|x-a|^n}\\
&=&\lim_{n\to\infty}\frac{M}{n}|x-a|\\
&=&M\cdot |x-a|\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}\\
&=&M\cdot |x-a|\cdot 0\\
&=&0<1
\end{eqnarray}
です。
ただし、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0$を使いました。
この事実の証明は【解析学の基礎シリーズ】実数の連続性編その8を御覧ください。

従って、$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}=0<1$により、定理2.(ratio test)から$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$は収束します。

さらに、次の事実を使います。

補題3. 級数$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$が収束すれば、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0$である。

この証明は【解析学の基礎シリーズ】級数とべき級数編その2の補題3.を御覧ください。

従って、
$$\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}C\cdot \frac{M^n}{n!}|x-a|^n=0$$
となるので、1.の条件を満たすから、テイラー展開可能です。

定理1.の証明終わり

では、代表的な関数のテイラー展開とマクローリン展開の例を計算してみましょう！

テイラー展開とマクローリン展開の代表例

この節で紹介するテイラー展開とマクローリン展開の代表例は大きく分けて

指数関数
対数関数
三角関数($\tan x$は飛ばします。理由は余談を参照してください。)

です。
テイラー展開を再掲しておきます。

定理1.(テイラー展開とその条件)

テイラー展開

テイラー展開

テイラー展開可能な条件

要は、上記の3つの種類の関数について、
$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n
$$
を収束半径とともに具体的に計算しよう、という話です。

さらに、収束半径は以下でした。

定理2. ベキ級数$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n$に対して、次の1.および2.を満たす$0\leq R\leq \infty$($R$は$\infty$の場合も有り得る)が存在する。

$|x-a|<R$ならば、$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n$は絶対収束する。
$|x-a|>R$ならば、$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n$は収束しない。

定理7. 極限 $$ \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=R\in[0,\infty] $$ が存在すれば、$R$が$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n$の収束半径である。

これらの証明は【解析学の基礎シリーズ】級数とベキ級数編その2を御覧ください。

指数関数のテイラー展開とマクローリン展開

1. $f(x)=k^x$の$x=a$まわりのテイラー展開

$f(x)=k^x$は$C^\infty$級(何度でも微分可能)です。
そこで、$f^{(n)}(x)$が計算してみます。

$f^{(0)}(x)=f(x)=k^x$、
$f^{(1)}(x)=k^x(\log k)$、
$f^{(2)}(x)=k^x(\log k)^2$、
$f^{(3)}(x)=k^x(\log k)^3$、

というようになります。
従って、$f^{(n)}(x)=k^x(\log k)^n$です。
$f^{(n)}(x)$は求まりましたが、テイラー展開可能なのか？ということを吟味します。

$k\in\mathbb{R}$ですので、$k\leq |k|<|k+1|$です。
そして、$\log k<\log (k+1)$で、かつ$\log (k+1)>0$です。
故に任意の$t>0$に対して、$|x-t|<1$であれば、$C=|k^t|$とし、$M=\log(k+1)$とすれば、定理1.の2.により
$$
\left|f^{(n)}(x)\right|=k^x(\log k)^n\leq |k^t|\cdot (\log(k+1))^n
$$
となります。
また、$t$は任意の実数ですので、テイラー展開可能です。

故に、$x=a$まわりのテイラー展開は、
$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{k^a(\log k)^n}{n!}(x-a)^n
$$
です。

特に、$a=0$の周りのテイラー展開、すなわちマクローリン展開は、
$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\log k)^n}{n!}x^n
$$

次に収束半径です。
$\displaystyle a_n=\frac{k^a(\log k)^n}{n!}$とします。
このとき、
$$
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\displaystyle\frac{k^a(\log k)^n}{n!}}{\displaystyle\frac{k^a(\log k)^{n+1}}{(n+1)!}}\right|=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\displaystyle\frac{1}{n!}}{\displaystyle\frac{\log k}{(n+1)!}}\right|=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{n+1}{\log k}\right|=\infty
$$
ですので、$R=\infty$、すなわち収束半径は$\infty$です。
すなわち、任意の$x\in\mathbb{R}$に対して、級数
$$
k^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{k^a(\log k)^n}{n!}(x-a)^n
$$
の右辺は収束するため、$x$にどんな実数を代入してもその値が実数値で求まる、ということです。

2. $f(x)=e^x$($e$はNapier数)のテイラー展開とマクローリン展開($k=e$の場合)

上記のテイラー展開において、$k=e$とすればOKです。
すなわち、
$$
e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{e^a}{n!}(x-a)^n
$$
です。
特に$a=0$のときのテイラー展開、すなわちマクローリン展開は
$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n
$$
です。
収束半径は、$\displaystyle a_n=\frac{e^a}{n!}$としたとき、
$$
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{n+1}{\log k}\right|=\lim_{n\to\infty}\left|n+1\right|=\infty
$$
となり、収束半径$R=\infty$です。
すなわち、任意の$x\in\mathbb{R}$に対して、級数
$$
e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{e^a}{n!}(x-a)^n
$$
の右辺は収束するため、$x$にどんな実数を代入してもその値が実数値で求まる、ということです。

対数関数のテイラー展開とマクローリン展開

$f(x)=\log(1+x)$は$C^\infty$級(何度でも微分可能)です。
そこで、$f^{(n)}(x)$が計算してみます。
どうして$\log x$ではなく$\log(1+x)$なのか、というのは後述します。

$f^{(0)}(x)=f(x)=\log(1+x)$、
$f^{(1)}(x)=\displaystyle\frac{1}{1+x}$、
$f^{(2)}(x)=\displaystyle-\frac{1}{(1+x)^2}$、
$f^{(3)}(x)=\displaystyle \frac{2}{(1+x)^3}$、
$f^{(4)}(x)=\displaystyle-\frac{6}{(1+x)^4}$、

というようになります。
従って、$\displaystyle f^{(n)}(x)=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+x)^n}$です。
$f^{(n)}(x)$は求まりましたが、テイラー展開可能なのか？ということを吟味します。

$$
R_n(x)=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-a)^n=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+c)^n}\cdot\frac{1}{n!}(x-a)^n
$$
により、
$$|R_n(x)|=\frac{1}{n}\left|\frac{x-a}{1+c}\right|^n$$
です。
これは、$|x-a|<1$であれば、$n\to\infty$で収束します。
実際、$|x-a|<1$により、$-1<x-a<1$だから$a-1<x<a+1$です。
$c$は$a$と$x$の間に存在するため、$a<c<x$かまたは$x<c<a$です。
仮に$a<c<x$であれば、$a<c<x<a+1<c+1$ですので、$\displaystyle\frac{x-a}{1+c}<1$です。
また、$x<c<a$であれば、$x-a<x<c<c+1$により、$\displaystyle\frac{x-a}{1+c}<1$です。
従って収束します。

以上のことから、$\log(1+x)$はテイラー展開可能です。

故に、$x=a$まわりのテイラー展開は、
$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n(1+a)^n}(x-a)^n
$$
です。

特に、$a=0$の周りのテイラー展開、すなわちマクローリン展開は、
$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n
$$
です。
ちなみに、ここで$\log x$は$x>0$でなければなりません。
従って、$\log x$は$x=0$まわりでテイラー展開できません。
つまり、マクローリン展開ができません。
従って、$x=0$でテイラー展開ができるようにするために$\log(1+x)$を考えるのです。

次に収束半径です。
$\displaystyle a_n=(-1)^{n-1}\frac{1}{n(1+a)^n}$とします。
このとき、
\begin{eqnarray}
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|&=&\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\displaystyle\frac{1}{n(1+a)^n}}{\displaystyle\frac{1}{(n+1)(1+a)^n}}\right|\\
&=&\lim_{n\to\infty}\left|\frac{n+1}{n}\cdot(1+a)\right|\\
&=&\lim_{n\to\infty}\left|\left(1+\frac{1}{n}\right)\cdot(1+a)\right|=1+a
\end{eqnarray}
ですので、$R=1+a$、すなわち収束半径は$1+a$です。
すなわち、$|x-a|<1+a$を満たす$x\in\mathbb{R}$でないと
$$
\log(1+x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n(1+a)^n}(x-a)^n
$$
の右辺は収束しません。

例えば、$x=-1$だったとすると、
$$
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n(1+a)^n}(-1-a)^n=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n(1+a)^n}\cdot(-1)^n\cdot(1+a)^n=-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n}=\infty
$$
となって、発散してしまいます。

三角関数のテイラー展開とマクローリン展開

まずは、$\sin x$についてです。

$\sin x$のテイラー展開とマクローリン展開

$f(x)=\sin x$は$C^\infty$級(何度でも微分可能)です。
そこで、$f^{(n)}(x)$が計算してみます。

$f^{(0)}(x)=f(x)=\sin x$、
$f^{(1)}(x)=\cos x$、
$f^{(2)}(x)=-\sin x$、
$f^{(3)}(x)=-\cos x$、
$f^{(4)}(x)=\sin x$、
$f^{(5)}(x)=\cos x$、

というようになります。
従って、$f^{(n)}(x)$は、$m\in\mathbb{N}\cup\{0\}$として、

$f^{(4m)}(x)=\sin x$、
$f^{(4m+1)}(x)=\cos x$、
$f^{(4m+2)}(x)=-\sin x$、
$f^{(4m+3)}(x)=\cos x$

です。
すなわち、$\displaystyle f^{(n)}(x)=\sin \left( x+\frac{n\pi}{2} \right)$です。

$f^{(n)}(x)$は求まりましたが、テイラー展開可能なのか？ということを吟味します。

$$
R_n(x)=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-a)^n=\frac{1}{n!}\sin \left( c+\frac{n\pi}{2} \right)(x-a)^n
$$
です。
任意の$x\in\mathbb{R}$に対して、$|\sin x|\leq 1$です。
従って、
$$
|R_n(x)|\leq \left|\frac{(x-a)^n}{n!}\right|
$$
です。
ここで、次の事実を使います。

命題8. 任意の正の実数$\alpha$に対して、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\alpha^n}{n!}=0$が成り立つ。

命題8.の証明

なんてことありません。
アルキメデスの原理から、$\alpha<N$という自然数$N$が存在します。
アルキメデスの原理は何だったか、というと、以下でした。

アルキメデスの原理 $$(\forall a\in\mathbb{R}_{>0})(\forall b\in\mathbb{R}_{>0})(\exists N_0\in\mathbb{N})\ {\rm s.t.}\ b<N_0a$$ ただし、$\mathbb{R}_{>0}=\{x\in\mathbb{R}\mid x>0\}$、すなわち正の実数の集合である。

アルキメデスの原理の証明は【解析学の基礎シリーズ】実数の連続性編その12を御覧ください。

このとき、$n>N$であれば、
$$
\frac{\alpha^n}{n!}=\frac{\alpha}{n}\cdot\frac{\alpha}{n-1}\cdots\frac{\alpha}{N}\cdot \frac{\alpha}{N-1}\cdot\frac{\alpha}{2}\cdot\alpha
$$
と表すことができます。
後半の$\displaystyle\frac{\alpha}{N-1}\cdot\frac{\alpha}{2}\cdot\alpha$は定数です。
従って、
\begin{eqnarray}
\lim_{n\to\infty}\frac{\alpha}{n!}&=&\lim_{n\to\infty}\frac{\alpha}{n}\cdot\frac{\alpha}{n-1}\cdots\frac{\alpha}{N}\cdot \frac{\alpha}{N-1}\cdot\frac{\alpha}{2}\cdot\alpha\\
&=&\frac{\alpha}{N-1}\cdot\frac{\alpha}{2}\cdot\alpha\cdot \lim_{n\to\infty}\frac{\alpha}{n}\cdot\frac{\alpha}{n-1}\cdots\frac{\alpha}{N}\\
&=&\frac{\alpha}{N-1}\cdot\frac{\alpha}{2}\cdot\alpha\cdot \lim_{n\to\infty}\frac{\alpha}{n}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{\alpha}{n-1}\cdots\lim_{n\to\infty}\frac{\alpha}{N}\\
&=&0
\end{eqnarray}
従って、成り立ちます。

命題8.の証明終わり

命題8.により
$$
0\leq\lim_{n\to\infty}|R_n(x)|\leq \lim_{n\to\infty}\left|\frac{(x-a)^n}{n!}\right|=0
$$
となって、はさみうちの原理から、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}R_n(x)=0$です。

ここで、はさみうちの原理とは、

はさみうちの原理
$\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$、$\{b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$、$\{c_n\}_{n\in\mathbb{N}}$を実数の数列とする。このとき、任意の$n\in\mathbb{N}$に対して$a_n\leq c_n\leq b_n$が成り立ち、かつある実数$A$に対して$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=A$が成り立つならば、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}c_n=A$である。

でした。
はさみうちの原理の証明は【解析学の基礎シリーズ】実数の連続性編その15を御覧ください。

以上のことから、$\sin x$はテイラー展開可能です。

故に、$x=a$まわりのテイラー展開は、
$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\sin \left( a+\frac{n\pi}{2} \right)(x-a)^n
$$
です。

特に、$a=0$の周りのテイラー展開、すなわちマクローリン展開は、
$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\sin \left( \frac{n\pi}{2} \right)x^n
$$
です。
ここで、$\sin x$の性質から、

$\displaystyle\frac{f^{(0)}(0)}{0!}=\frac{1}{0!}\sin 0=0$、
$\displaystyle\frac{f^{(1)}(0)}{1!}=\frac{1}{1!}\cos 0=1$、
$\displaystyle\frac{f^{(2)}(0)}{2!}=-\frac{1}{2!}\sin 0=0$、
$\displaystyle\frac{f^{(3)}(0)}{3!}=-\frac{1}{3!}\cos 0=\frac{1}{3!}$、
$\displaystyle\frac{f^{(4)}(0)}{4!}=\frac{1}{4!}\sin 0=0$、
$\displaystyle\frac{f^{(5)}(0)}{5!}=\frac{1}{2!}\cos 0=\frac{1}{5!}$、

です。
従って、
$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)!}x^n
$$
です。

次に収束半径です。
$\displaystyle a_n=\frac{1}{n!}\sin \left( a+\frac{n\pi}{2} \right)$とします。
このとき、
$$
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{\sin \left(a+\frac{n\pi}{2}\right)}{n!}}{\frac{\sin \left(a+\frac{(n+1)\pi}{2}\right)}{(n+1)!}} \right|
=\lim_{n\to\infty} \left|\frac{\sin \left(a+\frac{n\pi}{2}\right)}{\sin \left(a+\frac{(n+1)\pi}{2}\right)}\cdot n\right|
$$
で、かつ、任意の$x\in\mathbb{N}$に対して、$|\sin x|\leq 1$ですので、$R=\infty$、すなわち収束半径は$\infty$です。
すなわち、任意の$x\in\mathbb{R}$に対して、級数
$$
\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\sin \left( a+\frac{n\pi}{2} \right)(x-a)^n
$$
の右辺は収束するため、$x$にどんな実数を代入してもその値が実数値で求まる、ということです。

$\cos x$のテイラー展開とマクローリン展開

$\sin x$とほぼ同じです。

$f(x)=\cos x$は$C^\infty$級(何度でも微分可能)です。
そこで、$f^{(n)}(x)$が計算してみます。

$f^{(0)}(x)=f(x)=\cos x$、
$f^{(1)}(x)=-\sin x$、
$f^{(2)}(x)=-\cos x$、
$f^{(3)}(x)=\sin x$、
$f^{(4)}(x)=\cos x$、
$f^{(5)}(x)=-\sin x$、

というようになります。
従って、$f^{(n)}(x)$は、$m\in\mathbb{N}\cup\{0\}$として、

$f^{(4m)}(x)=\cos x$、
$f^{(4m+1)}(x)=-\sin x$、
$f^{(4m+2)}(x)=-\cos x$、
$f^{(4m+3)}(x)=\sin x$

です。
すなわち、$\displaystyle f^{(n)}(x)=\cos \left( x+\frac{n\pi}{2} \right)$です。

$f^{(n)}(x)$は求まりましたが、テイラー展開可能なのか？ということを吟味します。

$$
R_n(x)=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-a)^n=\frac{1}{n!}\cos \left( c+\frac{n\pi}{2} \right)(x-a)^n
$$
です。
任意の$x\in\mathbb{R}$に対して、$|\cos x|\leq 1$です。
従って、
$$
|R_n(x)|\leq \left|\frac{(x-a)^n}{n!}\right|
$$
です。

$\sin x$のときと同様に$\displaystyle\lim_{n\to\infty}R_n(x)=0$です。
従って$\sin x$はテイラー展開可能です。

故に、$x=a$まわりのテイラー展開は、
$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\cos \left( a+\frac{n\pi}{2} \right)(x-a)^n
$$
です。

特に、$a=0$の周りのテイラー展開、すなわちマクローリン展開は、
$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\cos \left( \frac{n\pi}{2} \right)x^n
$$
です。

ここで、$\cos x$の性質から、

$\displaystyle\frac{f^{(0)}(0)}{0!}=\frac{1}{0!}\cos 0=1$、
$\displaystyle\frac{f^{(1)}(0)}{1!}=-\frac{1}{1!}\sin 0=0$、
$\displaystyle\frac{f^{(2)}(0)}{2!}=-\frac{1}{2!}\cos 0=-\frac{1}{2!}$、
$\displaystyle\frac{f^{(3)}(0)}{3!}=\frac{1}{3!}\sin 0=0$、
$\displaystyle\frac{f^{(4)}(0)}{4!}=\frac{1}{4!}\cos 0=\frac{1}{4!}$、
$\displaystyle\frac{f^{(5)}(0)}{5!}=-\frac{1}{2!}\sin 0=0$、

です。
従って、
$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{2(n-1)!}x^n
$$
です。

次に収束半径です。
$\displaystyle a_n=\frac{1}{n!}\cos \left( a+\frac{n\pi}{2} \right)$とします。
このとき、
$$
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{\cos \left(a+\frac{n\pi}{2}\right)}{n!}}{\frac{\cos \left(a+\frac{(n+1)\pi}{2}\right)}{(n+1)!}} \right|
=\lim_{n\to\infty} \left|\frac{\cos \left(a+\frac{n\pi}{2}\right)}{\cos \left(a+\frac{(n+1)\pi}{2}\right)}\cdot n\right|
$$
で、かつ、任意の$x\in\mathbb{N}$に対して、$|\cos x|\leq 1$ですので、$R=\infty$、すなわち収束半径は$\infty$です。
すなわち、任意の$x\in\mathbb{R}$に対して、級数
$$
\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\cos \left( a+\frac{n\pi}{2} \right)(x-a)^n
$$
の右辺は収束するため、$x$にどんな実数を代入してもその値が実数値で求まる、ということです。

余談

$\tan x$のテイラー展開、マクローリン展開にはベルヌーイ数という数が登場します。つまり、$\sin x$と$\cos x$のようにスッキリとした形では表現できません。ベルヌーイ数まで踏み込むと量が膨大になるだけでなく、さらなる予備知識が要求されるので、今回は割愛します。

本当に近似できてるのかネ？

できてます。
それを視覚的に理解するため、筆者が作ったGeogebraのノートを貼ります。
このノートは変数をカーソルで動かせるようになっているため、バーを動かして色々試してみてください。

下のノートにおいて、$f(x)=\sin x$、$g$は$f$のマクローリン展開、$h$は$f$の$x=2\pi$周りのテイラー展開です。
次数というのは、何次の項まで計算するか(何階の微分係数まで使うか)を表す数です。

結

今回はテイラー展開の代表例を真面目に計算してみました。
私調べですが、殆どの記事が「公式だ！」というように表示していて、「本当にテイラー展開可能なのか？」というところまで踏み込んでいなかったと思います。
そこで、真面目に展開が可能なのか、というところから計算をしてみました。

次回はコーシーの第２平均値定理です。

乞うご期待！質問、コメントなどお待ちしております！

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