「級数の収束と発散を理解しよう！」【解析学の基礎シリーズ】級数とベキ級数編その1

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級数
結

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本記事は級数の収束と、ベキ級数の収束半径について解説する記事です。

本記事を読むにあたり、数列の収束について知っている必要があるため、以下の記事も合わせて御覧ください。

数列の収束って？〜直感から論理へ〜

...

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本記事はテイラー展開を厳密に話すために必要な、級数とベキ級数についてを解説します。

つまり、テイラー展開を語る上で必要なことだけをピックアップして解説します。

級数

まずは「級数とはなんぞや？」ということについて解説します。
とはいえ、すでに数列について学んでいるので、大したことはありません。
※数学Ⅲですでに学習していますしね。

級数とその収束

(実)級数 実数列$\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}\cup\{0\}}$から新しい実数列$\{s_n\}_{n\in\mathbb{N}\cup\{0\}}$を、 $$ s_0=a_0,\ s_1=a_0+a_1,\ s_2=a_0+a_1+a_2,\ \dots,s_n=a_0+a_1+\dots+a_n,\dots $$ により定める。この実数列$\{s_n\}_{n\in\mathbb{N}\cup\{0\}}$を$a_n$を第$n$項とする(無限)(実)級数といい、その第$n$項$s_n$をこの(実)級数の第$n$部分和ともいう。

要は、ある数列$\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}\cup\{0\}}$第$n$項までの和を第$n$項とする数列$\{s_n\}_{n\in\mathbb{N}\cup\{0\}}$を級数と呼びますよ、という話です。

次に級数の収束です。

級数の収束 (実)級数$\{s_n\}_{n\in\mathbb{N}\cup\{0\}}$に対して、極限 $$ \lim_{n\to\infty}s_n=s\in \mathbb{R} $$ が存在するとき、この級数は収束するといい、$s$をその和という。このとき、 $$ s=\sum_{n=0}^\infty a_n=a_0+a_1+\dots+a_n+\cdots $$ と書く。収束しないときに級数は発散するという。

ここで、級数ではないのですが、ベキ級数を語る上で重要な事実を証明しておきます。

重要な事実

命題1. $0\leq x<1$ならば、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}x^n=0$である。

これは数列の話ですが、ベキ級数に通ずる話です。
証明は大したことはありません。
アルキメデスの原理(証明の道中で明示します)を使えばすぐです。

命題1.の証明

仮に、$x=0$であれば、任意の$n\in\mathbb{N}$に対して$x^n=0$ですので、
$$\lim_{n\to\infty}x^n=\lim_{n\to\infty}0=0$$
となり、収束します。
$0<x<1$のとき、$x\neq 0$ですので、$\displaystyle y=\frac{1}{x}$と置きます。
すると、$y>1$ですので、$h>0$を用いて$y=1+h$と書くことができます。

ここで、アルキメデスの原理を使います。

アルキメデスの原理 $$(\forall a\in\mathbb{R}_{>0})(\forall b\in\mathbb{R}_{>0})(\exists N_0\in\mathbb{N})\ {\rm s.t.}\ b<N_0a$$ ただし、$\mathbb{R}_{>0}=\{x\in\mathbb{R}\mid x>0\}$、すなわち正の実数の集合である。

アルキメデスの原理の証明は【解析学の基礎シリーズ】実数の連続性編その12を御覧ください。

アルキメデスの原理から、任意の$\epsilon>0$に対して、$\displaystyle n_0h>\frac{1}{\epsilon}$となるような$n_0\in\mathbb{N}$が存在します。
このとき、任意の$n\geq n_0$に対して、
$$
y^n=(1+h)^n=1+nh+\dots>nh
$$
ですので、
$$
0<x^n<\frac{1}{y^n}<\frac{1}{nh}<\epsilon
$$
となるので、
$$
(\forall \epsilon>0)\ (\exists n_0\in\mathbb{N})\ {\rm s.t.}\ (\forall n\in\mathbb{N}:n\geq n_0\Rightarrow |x^n|<\epsilon)
$$
が示されました。
故に、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}x^n=0$です。

命題1.の証明終わり

次に、ベキ級数の収束について、重要な事実を示します。

命題2. $x\in\mathbb{R}$が$|x|<1$ならば、無限等比級数$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty x^n$は$\displaystyle\frac{1}{1-x}$に収束する。

証明は若干テクニカルですが難しくありません。

命題2.の証明

任意の$n\in\mathbb{N}$に対して、等比数列の和の公式から
$$1+x+x^2+\dots+x^n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$$
です。
故に、
$$
\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\dots+x^n+\frac{x^{n+1}}{1-x}
$$
です。
従って、
$$
\left|\frac{1}{1-x}-s_n\right|=\frac{|x|^{n+1}}{|1-x|}
$$
です。
この式の両辺を$n\to\infty$とします。
$$
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1}{1-x}-s_n\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{|x|^{n+1}}{|1-x|}
$$
命題1.から、$|x|<1$であれば、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}|x|^{n+1}=0$ですので、
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{|x|^{n+1}}{|1-x|}=0$です。
故に、
$$
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1}{1-x}-s_n\right|=0
$$
だから、
$$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x}$$
です。

命題2.の証明終わり

次に、正項級数について話します。

級数はどういうときに収束するのかネ？(級数に対するコーシーの収束条件)

級数が収束するための条件のうちの１つを書きます。

定理3.(級数に関数するコーシーの収束条件) 級数$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$に対して、次の1.および2.は同値である。

$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$は収束する。すなわち、部分和の数列$\{s_n\}_{n\in\mathbb{N}\cup\{0\}}$は収束する。
任意の$\epsilon>0$に対して、ある$n_0\in\mathbb{N}$が存在して、$n>m\geq n_0$となる全ての自然数に対して、$\left|a_{m+1}+a_{m+2}+\dots+a_n\right|<\epsilon$である。

証明は簡単です。
一瞬です。

定理3.の証明

2.に注目してみます。
$n>m\geq n_0$となる全ての自然数に対して、
$$
\left|a_{m+1}+a_{m+2}+\dots+a_n\right|=\left|(a_1+a_2+\dots+a_n)-(a_1+a_2+\dots+a_m)\right|
$$
ですので、任意の$\epsilon>0$に対して、ある$n_0\in\mathbb{N}$が存在して、$n>m\geq n_0$となる全ての自然数に対して、
$$
\left|(a_1+a_2+\dots+a_n)-(a_1+a_2+\dots+a_m)\right|<\epsilon
$$
が成り立っています。
これはまさに、$s_n=a_1+a_2+\dots+a_n$がコーシー列であることを示しています。

コーシー列とは何だったかというと、

コーシー列
$\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$を数列とする。このとき、$\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$がコーシー列であるとは、 $$(\forall \epsilon>0)(\exists N\in\mathbb{N})\ {\rm s.t.}\ (\forall m,n\in\mathbb{N};m,n\geq N\Rightarrow |a_m-a_n|<\epsilon)$$ が成り立つことをいう。

でした。

さらに、次が成り立つのでした。

定理4. 実数において、収束列であることとコーシー列であることは同値。

定理4.の証明は【解析学の基礎シリーズ】実数の連続性編その18を御覧ください。

従って、定理4.により、定理3.が成り立ちます。

定理3.の証明終わり

次に、絶対収束と正項級数について話します。

絶対収束と正項級数

絶対収束について

まず、絶対収束を考える意味を伝えるために少しだけ正項級数について話します。

正項級数というのは、項がすべて$0$以上の級数のことを指します。
すなわち、任意の$n\in\mathbb{N}$に対して、$a_n\geq 0$を満たすような$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$を正項級数といいます。

本来、$a_n$は$a_n\geq0$とは限りません。
しかし、収束については正項級数を考えればよいです。
なぜならば、次が成り立つからです。

定理5. $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \left|a_n\right|$が収束すれば、$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$も収束する。

$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \left|a_n\right|$が収束するとき、$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$は絶対収束する、といいます。

証明は簡単です。

定理5.の証明

$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \left|a_n\right|$が収束しているとすると、定理3.から、任意の$\epsilon>0$に対して、ある$n_0\in\mathbb{N}$が存在して、$n>m\geq n_0$となる全ての自然数に対して、$|a_{m+1}|+|a_{m+2}|+\dots+|a_n|<\epsilon$です。
これを論理式でかけば、
$$
(\forall \epsilon>0)\ (\exists n_0\in\mathbb{N})\ {\rm s.t.}\ (\forall n,m\in\mathbb{N}:n>m\geq n_0\Rightarrow |a_{m+1}|+|a_{m+2}|+\dots+|a_n|<\epsilon)
$$
です。

ここで、
$$
|a_{m+1}+a_{m+2}+\dots+a_n|\leq|a_{m+1}|+|a_{m+2}|+\dots+|a_n|
$$
が成り立つので、
$$
|a_{m+1}+a_{m+2}+\dots+a_n|<\epsilon
$$
が成り立ちます。
従って、
$$
(\forall \epsilon>0)\ (\exists n_0\in\mathbb{N})\ {\rm s.t.}\ (\forall n,m\in\mathbb{N}:n>m\geq n_0\Rightarrow |a_{m+1}+a_{m+2}+\dots+a_n|<\epsilon)
$$
が成り立つので、定理3.から$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$も収束します。

定理5.の証明終わり

ここで注意なのが、定理5.の逆は成り立たない、ということです。
すなわち、収束するけれども絶対収束しないような級数が存在する、というわけです。

例えば、次の級数です。

例6. $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}$は収束するが、絶対収束しない。

例6.の証明

$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}$は交代級数と呼ばれ、$\log 2$に収束することが知られています(証明は割愛)。
しかし、この交代級数の絶対値をとった級数$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \left|\frac{(-1)^{n+1}}{n}\right|=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n}$は発散します。

実際、任意の$n\in\mathbb{N}$に対して$2n>n$なので、
\begin{eqnarray}
s_{2n}-s_n&=&\left(1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n+1}+\dots+\frac{1}{2n}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n}\right)\\
&=&\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots+\frac{1}{2n}\\
&\geq&\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+\dots+\frac{1}{2n}\\
&=&n\cdot \frac{1}{2n}=\frac{1}{2}
\end{eqnarray}
となって、定理3.の2.を満たしません。
故に発散します。

例6.の証明終わり

次にもう一つの収束の条件について話します。
特に、正項級数の収束判定です。

正項級数の性質

次に正項級数の収束判定について解説します。

正項級数の収束判定において有効な方法の1つとして、「すでに収束および発散が分かっている級数と比較する」ことで収束および発散を判定しよう、という手法です。
この手法によって級数の収束および発散の判定が可能だ！と言い切れるのは以下の定理が成り立つからです。

定理7.(比較定理) $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$、$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n$、$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty d_n$は正項級数で、$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n$は収束し、$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty d_n$は発散するとする。このとき、次が成り立つ。

任意の$n\in\mathbb{N}\cup\{0\}$に対して$a_n\leq c_n$ならば$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$は収束する。
任意の$n\in\mathbb{N}\cup\{0\}$に対して$a_n\geq d_n$ならば$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$は発散する。
任意の$n\in\mathbb{N}\cup\{0\}$に対して$\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}\leq \frac{c_{n+1}}{c_n}$ならば$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$は収束する。
任意の$n\in\mathbb{N}\cup\{0\}$に対して$\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}\geq \frac{d_{n+1}}{d_n}$ならば$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$は収束する。

定理7.の証明

(1.の証明)

今、$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$、$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n$は正項級数ですので、それぞれの部分和も単調増加数列です。
さらに、$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n$は収束しているので、その部分和は上に有界です。
故に、$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$の部分和も上に有界ですので、上に有界な単調増加列は収束するので、$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$も収束します。

(2.の証明)

仮に、$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$が収束したとすると、$a_n\geq d_n$と1.から$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty d_n$も収束することになり、矛盾です。

(3.の証明)

今、任意の$n\in\mathbb{N}\cup\{0\}$に対して$\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}\leq \frac{c_{n+1}}{c_n}$により、$a_n\neq0$かつ$c_n\neq 0$です。
また、$c_na_{n+1}\leq c_{n+1}a_n$ですので、$\displaystyle\frac{a_{n+1}}{c_{n+1}}\leq \frac{a_n}{c_n}$です。
これが任意の$n\in\mathbb{N}\cup\{0\}$で成り立っているので、
$$
\frac{a_{n+1}}{c_{n+1}}\leq \frac{a_n}{c_n}\leq \dots\leq \frac{a_0}{c_0}
$$
です。
故に、$\displaystyle a_n\leq \frac{a_0}{c_0}c_n$が成り立っています。
今、$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n$が収束するので、$\displaystyle\frac{a_0}{c_0}\sum_{n=0}^\infty c_n$も収束します。
従って、1.により$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$も収束します。

(4.の証明)

3.と同様にして、
$$
a_n\geq \frac{a_0}{d_0}d_n
$$
が成り立つので、2.から$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$も発散します。

定理7.の証明終わり

次に、別の収束判定法を説明します。

級数はどういうときに収束するのかネ？(ratio test)

さて、これまでの話から、級数が収束するかどうかを判定するときには大きく分けて２つの手法があることが分かりました。
それは

級数におけるコーシーの収束判定の条件と合致するかを考えて収束、発散を判定する方法
すでに収束、発散が分かっている級数との大小関係を比べることで収束、発散を判定する方法

でした。
とはいえ、あまり扱いやすいものではありません。
後者は非常に有用な場合も多いですが、そもそもある級数が収束するかどうかを知りたいのに、必ずしも容易にすでに収束、発散が分かっている級数と大小関係を比べることはできません。

そこで級数の収束判定において、扱いやすいのがratio testと呼ばれる方法です。
ratio test とは以下です。

定理8.(ratio test) 正項級数$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$に対して、 $$ \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=l\in\mathbb{R} $$ が存在して、$l<1$ならば$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$は収束し、$l>1$ならば$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$は発散する。また、極限が存在しない場合、すなわち$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\infty$の場合も$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$は発散する。

この定理の証明は今まで示してきたことを使えば、どうということではありません。

定理8.の証明

$l<1$のとき、$l<k<1$という$k\in\mathbb{R}$を見つけることができます(例えば$ k=(l+1)/2$)。

今、
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=l
$$
なのですから、ある$n_0\in\mathbb{N}$が存在して、$n\geq n_0$であれば、
$$
\frac{a_{n+1}}{a_n}<k
$$
です。
このとき、級数$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$は収束します。
なぜならば、次が成り立つからです。

補題9.

正項級数$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$に対して、$0\leq k<1$となる$k\in\mathbb{R}$が存在して、ある$n_0$よりも大きな任意の$n\in\mathbb{N}$に対して$\sqrt[n]{a_n}\leq k$となるか、または任意の$n\geq n_0$に対して$\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}\leq k$が成り立つとき、$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$は収束する。
$k^\prime>1$となる$k^\prime\in\mathbb{R}$が存在して、すべての$n\geq n_0$に対して $$ \sqrt[n]{a_n}\geq k^\prime\quad \lor\quad \frac{a_{n+1}}{a_n}\geq k^\prime $$ が成り立つとき、$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$は発散する。

補題9.の証明

(1.の証明)

最初の方に解説した命題2.により$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty k^n$は収束します。

定理7.(比較定理)の1.に$c_n$を$c_n=k^n$として適用させると、$a_n\leq k^n$であれば、$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$は収束するので、すなわち$\sqrt[n]{a_n}\leq k$であれば、$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$が収束します。

また、定理7.(比較定理)の3.に$c_n$を$c_n=k^n$として適用させると、
$$
\frac{a_{n+1}}{a_n}\leq\frac{k^{n+1}}{k^n}=k
$$
であり、このとき$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$は収束するので、$\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}\leq k$のとき、$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$は収束します。

(2.の証明)

$k^\prime>1$としたとき、$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty k^{\prime n}$は発散します。
実際、$k^\prime>1$により、任意の$n\in\mathbb{N}$に対して$k^{\prime n}>1$です。
故に、$1<n\cdot k^{\prime n}$です。
従って、$\displaystyle\frac{1}{n}<k^{\prime n}$となります。
ここで、例6.により$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n}$は発散します。
従って、定理7.(比較定理)の2.から$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty k^{\prime n}$は発散します。

ここで、定理7.(比較定理)の2.に$d_n$を$c_n=k^{\prime n}$として適用させると、$a_n\geq k^{\prime n}$であれば、$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$は発散するので、すなわち$\sqrt[n]{a_n}\geq k^\prime$であれば、$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$が発散します。

また、定理7.(比較定理)の4.に$d_n$を$d_n=k^{\prime n}$として適用させると、
$$
\frac{a_{n+1}}{a_n}\geq\frac{k^{\prime n+1}}{k^{\prime n}}=k^\prime
$$
であり、このとき$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$は発散するので、$\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}\geq k^{\prime}$のとき、$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$は発散します。

補題9.の証明終わり

では、定理8.の証明に戻ります。

定理8.おいて、補題9.から級数$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$は収束します。

同様に、$l>1$であれば、$l>k^\prime>1$となる$k^\prime$を一つとれば、ある$n_0$よりもおおきな任意の$n\in\mathbb{N}$に対して、
$$
\frac{a_{n+1}}{a_n}>k^\prime
$$
となるわけですので、補題9.の2.から$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$は発散します。

定理8.の証明終わり

結

今回は級数の収束と発散について解説しました。
「いきなりどうした？」と思うかもしれませんが、テイラー展開を厳密に語るにはどうしても級数の話をしなければならないので、今回は前回とは毛色をかえて級数について話しました。

結局の所、級数の収束、発散というのは部分和を数列とみてその収束、発散を吟味する、ということです。
しかし、単に数列と同じようには行かないこともあれば、収束の吟味の方法が３通りほどあることで数列の収束よりも見通しが立ちやすい部分もあります。

次回はベキ級数についてです。

乞うご期待！質問、コメントなどお待ちしております！