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「多変数ベクトル値関数の外積の極限」【解析学の基礎シリーズ】多変数関数編 その5

多変数関数
2022.05.03

本記事の内容

本記事は多変数ベクトル値関数の外積の極限について解説する記事です。

この記事を読むにあたり、多変数ベクトル値関数の極限と3次元ベクトルの外積について知っている必要があるため、その際は以下の記事を参照してください。

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3次元ベクトルの外積のチャラい復習

この節ではチャラく復習しますので、詳しく知りたい方は【解析学の基礎シリーズ】点列編 その4を御覧ください。
ベクトルの内積は実数値でしたが、外積はベクトルでした。
また、重要な事実として外積はすべての次元で考えられるモノでもない、ということも注意しておきます。

3次元ベクトルの外積の幾何的な説明

\(\boldsymbol{a}\in\mathbb{R}^3\)と\(\boldsymbol{b}\in\mathbb{R}^3\)の外積\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\)は以下のベクトルです。

\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\)は大きさが\(\boldsymbol{a}\)と\(\boldsymbol{b}\)が張る平行四辺形の面積と一致していて、かつ方向は右ねじの法則に則った方向で(\(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{a}\)は向きが\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\)と逆)、かつ\(\boldsymbol{a}\)、\(\boldsymbol{b}\)の両方と垂直な(直交している)ベクトルです。
ベクトルは向きと大きさを持つ量ですので、これらの情報でただ１つのベクトルが対応します。

3次元ベクトルの外積の成分表示

3次元ベクトルの外積はベクトルでした。
そのベクトルの成分を書くと、次でした。

3次元ベクトルの外積(成分表示) \(\boldsymbol{a}\in\mathbb{R}^3\)と\(\boldsymbol{b}\in\mathbb{R}^3\)が $$\boldsymbol{a}= \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array} \right),\quad \boldsymbol{b}= \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right) $$ と成分表示されたとする。このとき\(\boldsymbol{a}\in\mathbb{R}^3\)と\(\boldsymbol{b}\in\mathbb{R}^3\)の外積\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\)は $$ \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}= \left( \begin{array}{c} a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1 \end{array} \right) $$ である。

「随分と複雑だネ」と思うかもしれませんが、覚え方があります。
覚え方については【解析学の基礎シリーズ】点列編 その4を御覧ください。

3次元の多変数ベクトル値関数の外積の極限と極限の外積は一致する

いきなりですが、本題に入っていきましょう。
まずは主張を明示してしまいます。

多変数ベクトル値関数の外積の極限 \(\Omega\subset\mathbb{R}^n\)を\(\mathbb{R}^n\)の領域、\(\boldsymbol{f}:\Omega\to\mathbb{R}^3\)および\(\boldsymbol{g}:\Omega\to\mathbb{R}^3\)を写像(関数)、\(\boldsymbol{a}\in\bar{\Omega}\)、\(\boldsymbol{A}\in\mathbb{R}^3\)、\(\boldsymbol{B}\in\mathbb{R}^3\)とする。\(\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}\)のとき\(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\)が\(\boldsymbol{A}\)に、\(\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})\)が\(\boldsymbol{B}\)に収束するとする。 このとき、 $$ \lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\times\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}))=\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f(\boldsymbol{x})\times\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}g(\boldsymbol{x}) $$ が成り立つ。 言い換えれば、 $$ \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\left( \begin{array}{c} f_1(\boldsymbol{x})\\ f_2(\boldsymbol{x})\\ f_3(\boldsymbol{x}) \end{array} \right),\quad \boldsymbol{A}=\left( \begin{array}{c} A_1\\ A_2\\ A_3 \end{array} \right),\quad \boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})=\left( \begin{array}{c} g_1(\boldsymbol{x})\\ g_2(\boldsymbol{x})\\ g_3(\boldsymbol{x}) \end{array} \right),\quad \boldsymbol{B}=\left( \begin{array}{c} B_1\\ B_2\\ B_3 \end{array} \right),\quad $$ と書いたとき、 \begin{eqnarray} \lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\times\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})) &=&\left( \begin{array}{c} \displaystyle\left(\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f_2(\boldsymbol{x})\right)\cdot\left(\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}g_3(\boldsymbol{x})\right)-\left(\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f_3(\boldsymbol{x})\right)\cdot\left(\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}g_2(\boldsymbol{x})\right)\\ \displaystyle\left(\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f_3(\boldsymbol{x})\right)\cdot\left(\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}g_1(\boldsymbol{x})\right)-\left(\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f_1(\boldsymbol{x})\right)\cdot\left(\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}g_3(\boldsymbol{x})\right)\\ \displaystyle\left(\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f_1(\boldsymbol{x})\right)\cdot\left(\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}g_2(\boldsymbol{x})\right)-\left(\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f_2(\boldsymbol{x})\right)\cdot\left(\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}g_1(\boldsymbol{x})\right)\\ \end{array} \right)\\ &=& \lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}} \left( \begin{array}{c} f_1(\boldsymbol{x})\\ f_2(\boldsymbol{x}\\ f_3(\boldsymbol{x})\\ \end{array} \right)\times \lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}\left( \begin{array}{c} g_1(\boldsymbol{x})\\ g_2(\boldsymbol{x}\\ g_3(\boldsymbol{x})\\ \end{array} \right) \end{eqnarray} が成り立つ。

言いたいことは内積のときと同様です。
高校数学的なノリで言うところの、「\(\lim\)はカッコの中に入れて計算してOK」ということです。

この主張の証明も簡単で、式変形により証明できます。

証明

式変形により証明します。

\begin{eqnarray}
\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\times\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}))
&=&\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}
\left(
\begin{array}{c}
f_2(\boldsymbol{x})g_3(\boldsymbol{x})-f_3(\boldsymbol{x})g_2(\boldsymbol{x})\\
f_3(\boldsymbol{x})g_1(\boldsymbol{x})-f_1(\boldsymbol{x})g_3(\boldsymbol{x})\\
f_1(\boldsymbol{x})g_2(\boldsymbol{x})-f_2(\boldsymbol{x})g_1(\boldsymbol{x})
\end{array}\right)
\end{eqnarray}
です。
ここで、次の事実を使います。

定理(多変数ベクトル値関数の収束と同値な命題) \(\Omega\subset\mathbb{R}^n\)を\(\mathbb{R}^n\)の領域、\(\boldsymbol{f}:\Omega\to\mathbb{R}^m\)を写像(関数)、\(\boldsymbol{a}\in\bar{\Omega}\)、\(\boldsymbol{A}\in\mathbb{R}^m\)とする。\(\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}\)のとき\(f(\boldsymbol{x})\)が\(\boldsymbol{A}\)に収束するとする。 すなわち、 $$(\forall \epsilon>0)(\exists \delta>0)\ {\rm s.t.}\ (\forall \boldsymbol{x}\in\bar{\Omega}:0<|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}|<\delta\Rightarrow |\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{A}|<\epsilon)$$ が成り立っているとする。 $$ \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\left( \begin{array}{c} f_1(\boldsymbol{x})\\ f_2(\boldsymbol{x})\\ \vdots\\ f_m(\boldsymbol{x}) \end{array} \right),\quad \boldsymbol{A}=\left( \begin{array}{c} A_1\\ A_2\\ \vdots\\ A_m \end{array} \right),\quad $$ と書いたとき、 $$\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{A}\Leftrightarrow \ (\forall i\in\mathbb{N}:1\leq i\leq m)\ \lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f_i(\boldsymbol{x})=A_i$$ が成り立つ。 言い換えれば、 $$\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})= \lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}\left( \begin{array}{c} f_1(\boldsymbol{x})\\ f_2(\boldsymbol{x})\\ \vdots\\ f_m(\boldsymbol{x}) \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} \displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f_1(\boldsymbol{x})\\ \displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f_2(\boldsymbol{x})\\ \vdots\\ \displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f_m(\boldsymbol{x}) \end{array} \right) $$ が成り立つ。

この定理の証明は【解析学の基礎シリーズ】多変数関数編 その2を御覧ください。
この定理を使うと、
\begin{eqnarray}
\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}\left(
\begin{array}{c}
f_2(\boldsymbol{x})g_3(\boldsymbol{x})-f_3(\boldsymbol{x})g_2(\boldsymbol{x})\\
f_3(\boldsymbol{x})g_1(\boldsymbol{x})-f_1(\boldsymbol{x})g_3(\boldsymbol{x})\\
f_1(\boldsymbol{x})g_2(\boldsymbol{x})-f_2(\boldsymbol{x})g_1(\boldsymbol{x})
\end{array}\right)
=\left(
\begin{array}{c}
\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}\left(f_2(\boldsymbol{x})g_3(\boldsymbol{x})-f_3(\boldsymbol{x})g_2(\boldsymbol{x})\right)\\
\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}\left(f_3(\boldsymbol{x})g_1(\boldsymbol{x})-f_1(\boldsymbol{x})g_3(\boldsymbol{x})\right)\\
\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}\left(f_1(\boldsymbol{x})g_2(\boldsymbol{x})-f_2(\boldsymbol{x})g_1(\boldsymbol{x})\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray}
です。
さらに、次の事実を使います。

補題1.(多変数実数値関数の和の極限) \(\Omega\subset\mathbb{R}^n\)を\(\mathbb{R}^n\)の領域、\(f:\Omega\to\mathbb{R}\)および\(g:\Omega\to\mathbb{R}\)を写像(関数)、\(\boldsymbol{a}\in\bar{\Omega}\)とする。 また、\(\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}\)のとき\(f(\boldsymbol{x})\)と\(g(\boldsymbol{x})\)が収束するとする。 このとき、 $$\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}\left(f(\boldsymbol{x})+g(\boldsymbol{x})\right)=\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f(\boldsymbol{x})+\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}g(\boldsymbol{x})$$ が成り立つ。

この事実の証明は【解析学の基礎シリーズ】多変数関数編 その3を御覧ください。
この事実を使うと、
\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{c}
\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}\left(f_2(\boldsymbol{x})g_3(\boldsymbol{x})-f_3(\boldsymbol{x})g_2(\boldsymbol{x})\right)\\
\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}\left(f_3(\boldsymbol{x})g_1(\boldsymbol{x})-f_1(\boldsymbol{x})g_3(\boldsymbol{x})\right)\\
\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}\left(f_1(\boldsymbol{x})g_2(\boldsymbol{x})-f_2(\boldsymbol{x})g_1(\boldsymbol{x})\right)
\end{array}\right)=
\left(
\begin{array}{c}
\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f_2(\boldsymbol{x})g_3(\boldsymbol{x})-\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f_3(\boldsymbol{x})g_2(\boldsymbol{x})\\
\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f_3(\boldsymbol{x})g_1(\boldsymbol{x})-\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f_1(\boldsymbol{x})g_3(\boldsymbol{x})\\
\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f_1(\boldsymbol{x})g_2(\boldsymbol{x})-\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f_2(\boldsymbol{x})g_1(\boldsymbol{x})
\end{array}\right)
\end{eqnarray}
です。
また、次の事実を使います。

補題2.(多変数実数値関数の積の極限) \(\Omega\subset\mathbb{R}^n\)を\(\mathbb{R}^n\)の領域、\(f:\Omega\to\mathbb{R}\)および\(g:\Omega\to\mathbb{R}\)を写像(関数)、\(\boldsymbol{a}\in\bar{\Omega}\)とする。 また、\(\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}\)のとき\(f(\boldsymbol{x})\)と\(g(\boldsymbol{x})\)が収束するとする。 このとき、 $$\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f(\boldsymbol{x})g(\boldsymbol{x})=\left(\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f(\boldsymbol{x})\right)\cdot\left(\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}g(\boldsymbol{x})\right)$$ が成り立つ。

この事実の証明は【解析学の基礎シリーズ】多変数関数編 その4を御覧ください。
この事実を使えば、
\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{c}
\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f_2(\boldsymbol{x})g_3(\boldsymbol{x})-\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f_3(\boldsymbol{x})g_2(\boldsymbol{x})\\
\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f_3(\boldsymbol{x})g_1(\boldsymbol{x})-\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f_1(\boldsymbol{x})g_3(\boldsymbol{x})\\
\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f_1(\boldsymbol{x})g_2(\boldsymbol{x})-\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f_2(\boldsymbol{x})g_1(\boldsymbol{x})
\end{array}\right)
=\left(
\begin{array}{c}
\displaystyle\left(\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f_2(\boldsymbol{x})\right)\cdot\left(\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}g_3(\boldsymbol{x})\right)-\left(\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f_3(\boldsymbol{x})\right)\cdot\left(\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}g_2(\boldsymbol{x})\right)\\
\displaystyle\left(\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f_3(\boldsymbol{x})\right)\cdot\left(\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}g_1(\boldsymbol{x})\right)-\left(\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f_1(\boldsymbol{x})\right)\cdot\left(\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}g_3(\boldsymbol{x})\right)\\
\displaystyle\left(\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f_1(\boldsymbol{x})\right)\cdot\left(\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}g_2(\boldsymbol{x})\right)-\left(\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f_2(\boldsymbol{x})\right)\cdot\left(\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}g_1(\boldsymbol{x})\right)\\
\end{array}\right)
\end{eqnarray}
です。
これはまさに外積の成分表示ですので、
\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{c}
\displaystyle\left(\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f_2(\boldsymbol{x})\right)\cdot\left(\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}g_3(\boldsymbol{x})\right)-\left(\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f_3(\boldsymbol{x})\right)\cdot\left(\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}g_2(\boldsymbol{x})\right)\\
\displaystyle\left(\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f_3(\boldsymbol{x})\right)\cdot\left(\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}g_1(\boldsymbol{x})\right)-\left(\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f_1(\boldsymbol{x})\right)\cdot\left(\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}g_3(\boldsymbol{x})\right)\\
\displaystyle\left(\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f_1(\boldsymbol{x})\right)\cdot\left(\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}g_2(\boldsymbol{x})\right)-\left(\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f_2(\boldsymbol{x})\right)\cdot\left(\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}g_1(\boldsymbol{x})\right)\\
\end{array}\right)
=\left(
\begin{array}{c}
\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f_1(\boldsymbol{x})\\
\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f_2(\boldsymbol{x})\\
\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f_3(\boldsymbol{x})
\end{array}\right)\times
\left(
\begin{array}{c}
\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}g_1(\boldsymbol{x})\\
\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}g_2(\boldsymbol{x})\\
\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}g_3(\boldsymbol{x})
\end{array}\right)
\end{eqnarray}
ここで、再度定理(多変数ベクトル値関数の収束と同値な命題)を使うと、
\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{c}
\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f_1(\boldsymbol{x})\\
\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f_2(\boldsymbol{x})\\
\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f_3(\boldsymbol{x})
\end{array}\right)\times
\left(
\begin{array}{c}
\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}g_1(\boldsymbol{x})\\
\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}g_2(\boldsymbol{x})\\
\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}g_3(\boldsymbol{x})
\end{array}\right)
=\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}
\left(
\begin{array}{c}
f_1(\boldsymbol{x})\\
f_2(\boldsymbol{x})\\
f_3(\boldsymbol{x})
\end{array}\right)\times
\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}
\left(
\begin{array}{c}
g_1(\boldsymbol{x})\\
g_2(\boldsymbol{x})\\
g_3(\boldsymbol{x})
\end{array}\right)=\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\times\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})
\end{eqnarray}
です。

証明終わり

本当に成り立つのかネ？

簡単ではありますが、例を挙げます。

例 \(\boldsymbol{f}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\)と\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\)が
$$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\\
1
\end{array}\right),\quad
\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})=\left(
\begin{array}{c}
y \\
1\\
x
\end{array}\right)
$$
で定められているとします。
このとき、

  • \(\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to(1,1)}\left(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\times\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})\right)=\lim_{\boldsymbol{x}\to(1,1)}\left(\begin{array}{c}xy-1\\ y-x^2\\x-y^2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\0 \end{array}\right)\)
  • \(\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to(1,1)}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\times\lim_{\boldsymbol{x}\to(1,1)}\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\1 \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\0 \end{array}\right)\)

結

今回は多変数ベクトル値関数の外積の極限について解説しました。
結局のところは内積と同様で、\(\lim\)はカッコの中に入れて計算してOKということです。

次回は実数値関数と多変数ベクトル値関数の商の極限について解説します。

乞うご期待！質問、コメントなどお待ちしております！

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