「$\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f(\boldsymbol{x})=\pm\infty$って？(ある点付近での発散)」【解析学の基礎シリーズ】多変数関数編 その21

本記事の内容

本記事は多変数実数値関数の発散の一部を解説する記事です。
本記事を読むにあたり、１変数実数値関数の発散について知っている必要があるため、その際は以下の記事を参照してください。

「$x\to a$のとき$f(x)\to\pm\infty$」(ある点付近での発散)【解析学の基礎シリーズ】関数の極限編 その17

...

for-spring.com

2022.04.18

1変数実数値関数の場合のチャラい復習

$x\to a$のときの$f(x)\to\infty$を一言でのべれば、次でした。

「ある点の付近」というのは、「ある点$a$との距離が$\delta$未満であるような$x$に対しては」という意味です。(関数の収束と同じだネ)

“無限大”とはどんな実数よりも大きい数でした。
詳しくは【解析学の基礎シリーズ】数列の発散編 その2を参照してください。

ちなみに、負の無限大も同じです。

以上のことを論理式で書くと以下になります。

多変数実数値関数の場合

形式的には１変数の場合とほとんど変わりません。
というより、区間が領域になって$x$と$a$がそれぞれベクトルになるだけです。

多変数実数値関数の場合の、ある点付近での発散もまた、

ということです。
では早速数学的に主張を明示してしまいましょう。

実際に証明してみよう！

簡単ではありますが、実際に証明してみます。

例1. $\Omega=\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$とするとき、$f:\Omega\to\mathbb{R}$が$\displaystyle f(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2}$で定められているとします。
このとき、$\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{1}{x^2+y^2}=\infty$です。

証明

示したいことは
$$(\forall U\in\mathbb{R})(\exists \delta>0)\ {\rm s.t.}\ \left(\forall \boldsymbol{x}\in \Omega:0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta\Rightarrow \frac{1}{x^2+y^2}>U\right)$$
です。

まず、任意の$(x,y)\in\Omega$に対して$\displaystyle\frac{1}{x^2+y^2}>0$ですから、$U>0$のときを考えれば良いです。
任意の$U>0$に対して、$\displaystyle\delta=\frac{1}{\sqrt{U}}$とすれば、$0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta$のとき
$$\frac{1}{x^2+y^2}>\delta^2>\frac{1}{\left(\frac{1}{\sqrt{U}}\right)^2}=U$$
となり、成り立ちます。

証明終わり

結

今回は$\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f(\boldsymbol{x})=\pm\infty$について解説しました。
結局の所１変数実数値関数のときとほぼ同じで、定義域内のある点に近づくとき、関数の値がどんな実数よりも大きければ正の無限大に発散、どんな実数よりも値避ければ負の無限大に発散という、というだけです。

次回は、発散する関数が絡む極限の式の証明をします。

乞うご期待！質問、コメントなどお待ちしております！