本記事の内容
本記事は多変数多項式関数は連続な関数だ、ということを説明する記事です。
本記事を読むにあたり、多変数関数の連続について知っている必要があるため、その際は以下の記事を参照してください。
また、1変数多項式関数の連続について知っているとよりすんなり理解できると思われますので、その際は以下の記事を参照してください。
まずは、多変数多項式関数とはどんなものか、ということについて説明します。
では行きましょう!
多変数多項式関数とは何かネ?
多変数多項式関数の説明の前に、1変数多項式関数とは何だったかをチャラく復習します。
1変数多項式関数のチャラい復習
1変数多項式関数はf(x)=x2+2x+2のような形の関数のことを指したのでした。
数学的には以下でした。
- 多項式 P(x)=n∑i=0aixi(ai∈R) の形の式を、xの実係数多項式(polynomial with real coefficients)という。
- 多項式関数 関数f:X→Yが任意のx∈Xでf(x)=P(x)を満たすとき、fは多項式関数という。 特に、P(x)が実係数多項式である場合、fを実係数多項式関数という。
多変数多項式関数は上記の多変数ver.です。
多変数の多項式
P(x,y)=x2+2xy+3y2+4x+5y+6のように、変数x,yと実数の定数から掛け算、足し算だけで作られる式を、変数xとyの実係数多項式と言います。
これは2変数の場合です。
2変数の場合を数学的に表すと、xとyの2変数実係数多項式は
P(x,y)=N∑i=0N∑j=0aijxiyj(N∈N, aij∈R)
です。
では、多変数の多項式について説明します。
とはいえ、先程はxとyが変数でしたが、その変数の部分がx1,x2,…,xnとなるだけです。
P(x1,x2,…,xn)=N∑i1=0N∑i2=0…N∑in=0ai1i2⋯inxi01xi22⋯xinn(N∈N, ai1i2⋯in∈R) を変数x1,x2,…,xnの多変数実係数多項式という。また、多変数実係数多項式の全体の集合を R[x1,x2,…,xn]={P(x1,x2,…,xn)|N∈N, ai1i2⋯in∈R (0≤i1,i2,…,in≤N)} で表す。
数式にすると少々複雑に見えるかもしれませんが、n=2の場合を考えてみると、P(x,y)と一致することがわかると思います。
余談(読み飛ばしてOK)
実は、R[x1,x2,…,xn]は環の構造が入るので、R[x1,x2,…,xn]は多項式環とも呼ばれます。
環というのは、サラッと言うと「加減乗ができる集合」のことです。
割り算はできません(0も多項式だからネ)。
多変数多項式関数
多変数多項式関数は、要するに、R[x1,x2,…,xn]の要素の形の関数のことです。
これを数学的に書くと次です。
fがn変数の(R上の)多項式関数であるとは、あるP(x1,x2,…,xn)∈R[x1,x2,…,xn]が存在して、 f:Rn→R,f(x1,x2,…,xn)=P(x1,x2,…,xn)((x1,x2,…,xn)⊤∈Rn) であることを言う。
要するに、f:Rn→Rが
f(x1,x2,…,xn)=N∑i1=0N∑i2=0…N∑in=0ai1i2⋯inxi01xi22⋯xinn(N∈N, ai1i2⋯in∈R)
というときに、fはx1,x2,…,xnを変数とするn変数(実係数)多項式関数という、というわけです。
若干複雑ですが、n変数多項式関数がどんなグラフかの例を挙げます。

n変数多項式関数はRnで連続である
n変数多項式関数はRnで連続な関数です。
実は、今まで証明した、
- (定理1.) 連続な多変数実数値関数の和、差も連続な関数。
- (定理2.) 連続な多変数実数値関数の積も連続な関数。
- (命題3.) fi(x1,x2,⋯xn)=xiは連続な関数。(後でちゃんと書きます。)
- (命題4.) 多変数の定数関数は連続な関数。
という事実を繰り返し使うことで直ちに証明できます。
(※1変数のときと同じだネ)
すなわち、
(この定理の証明は【解析学の基礎シリーズ】多変数関数編 その3を御覧ください)と
(この定理の証明は【解析学の基礎シリーズ】多変数関数編 その4を御覧ください)と命題3.(後述)と命題4.(後述)を繰り返し使うことで分かります。
では、定理を明示します。
では、証明に入りましょう!
定理5.の証明
示したいことはf:Rn→Rが
f(x1,x2,…,xn)=N∑i1=0N∑i2=0…N∑in=0ai1i2⋯inxi01xi22⋯xinn(N∈N, ai1i2⋯in∈R)
としたときに、fがRnで連続なことです。
まずは、次を示します。
命題4.の証明
示したいことは、x=(x1,x2,…,xn)、a=(a1,a2,…,an)としたとき、
(∀i∈N:1≤i≤n)(∀ϵi>0)(∃δi>0) s.t. (∀x∈Ω; 0<|x−a|<δi⇒|xi−ai|<ϵi)
です。
これは簡単です。
もし仮に、上記のようなδi>0があったとすると、
|x−a|<δi⇔√(x1−a1)2+(x2−a2)2+⋯+(xn−an)2<δi
です。
任意の1≤j≤nを満たすj∈Nに対して、(xj−aj)2≥0ですので、任意の1≤j≤nを満たすj∈Nに対して|xj−aj|<δiです。
従って、δi=ϵiとすると、任意の1≤j≤nを満たすj∈Nに対して、
|x−a|<δi⇒|xj−aj|<ϵi
となりますので、証明完了です。
命題4.の証明終わり
次に、多変数の定数関数もRnで連続であることを示します。
命題4.の証明
示したいことは、
(∀ϵ>0)(∃δ>0) s.t. (∀x∈Ω; 0<|c−c|<δi⇒|c−c|<ϵ)
ですが、これはδ=ϵとすることで、
0<|c−c|<δi⇒|c−c|=0<ϵi
です。
故に証明は終わりです。
命題4.の証明終わり
さて、定理5.の証明に戻ります。
命題4.からg:Rn→Rがg(x)=cで定められている(すなわち、gは定数関数)とき、gはR2で連続です。
また、命題3.からh:Rn→Rがh(x1.x2,⋯,xn)=xiで定められているとします。
このときhはR2で連続です。
ここで、定理2.からg(x)h(x=cxi)もRnで連続です。
ここで、更に定理2.を繰り返し使うことで、任意の0≤i1,i2,⋯,in≤N (N∈N)を満たすi1,i2,⋯,in∈Zに対して、
ai1i2⋯inxi01xi22⋯xinn(ai1i2⋯in∈R)
はRnで連続です。
加えて、ここで定理1.により、0≤i1,i2,⋯,in≤Nのi1,i2,⋯,inをij (1≤j≤n)それぞれに対して0からNまでの和を取ってもRnで連続です。
以上のことから、
N∑i1=0N∑i2=0…N∑in=0ai1i2⋯inxi01xi22⋯xinn(N∈N, ai1i2⋯in∈R)
はRnで連続です。
本当に成り立つのかネ?
成り立ちます。
簡単ですが、例を挙げましょう。
例1. f:R2→Rがf(x,y)=x2+2xy+y2で定められているとします。
このときfはR2で連続です。
証明
示したいことは、a=(a,b)と書いたとき、
(∀ϵ>0)(∃δ>0) s.t. (∀x∈Ω; 0<|(x,y)−(a,b)|<δ⇒|(x2+2xy+y2)−(a2+2ab+b2)|<ϵ)
です。
δ>0を見つけるために式変形してみましょう。
|(x2+2xy+y2)−(a2+2ab+b2)|=|x2−2ax+a2+y2−2by+b2+2ax−2a2+2by−2b2|=|(x−a)2+(y−b)2+2a(x−a)+2b(y−b)|≤|x−a|2+|y−b|2+2|a|⋅|x−a|+2|b|⋅|y−b|
です。
仮に、上記を満たすδがあったとすると、0<|(x,y)−(a,b)|<δ⇔√(x−a)2+(y−b)2<δであり、(x−a)2≥0かつ(y−b)2≥0ですので、|x−a|<δかつ|y−b|<δです。
故に、
|x−a|2+|y−b|2+2|a|⋅|x−a|+2|b|⋅|y−b|<δ2+δ2+2(|a|+|b|)δ
です。
従って、δ2+δ2+2(|a|+|b|)δ=ϵを満たすδ>0を見つけてくれば良いことになります。
故に、これを解くと、
δ=−(|a|+|b|)±√(|a|+|b|)2+2ϵ2
です。
従って、
δ=−(|a|+|b|)+√(|a|+|b|)2+2ϵ2
とすれば、δ>0です。
δ=−(|a|+|b|)+√(|a|+|b|)2+2ϵ2とすると、
|(x2+2xy+y2)−(a2+2ab+b2)|<2δ2+2(|a|+|b|)δ=2⋅(−(|a|+|b|)+√(|a|+|b|)2+2ϵ2)2+2(|a|+|b|)⋅−(|a|+|b|)+√(|a|+|b|)2+2ϵ2=12⋅((|a|+|b|)2−2(|a|+|b|)√(|a|+|b|)2+2ϵ+(|a|+|b|)2+2ϵ)−(|a|+|b|)2+√(|a|+|b|)2+2ϵ=ϵ
です。
従って、
(∀ϵ>0)(∃δ>0) s.t. (∀x∈Ω; 0<|(x,y)−(a,b)|<δ⇒|(x2+2xy+y2)−(a2+2ab+b2)|<ϵ)
です。
証明終わり
結
今回は多変数の多項式関数が連続であることを説明しました。
結局の所、
- 連続な多変数実数値関数の和、差も連続な関数。
- 連続な多変数実数値関数の積も連続な関数。
- fi(x1,x2,⋯xn)=xiは連続な関数。
- 多変数の定数関数は連続な関数。
という事実を繰り返し使うことで証明ができるということでした。
次回は多変数の有理関数の連続について解説します。
乞うご期待!質問、コメントなどお待ちしております!
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