上に有界、上界、上限とは？

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1. 名前:shelly : 投稿日：2023/04/08(土) 09:53:29 ID：Q5Nzg5MDU

   大変わかりやすいです。ありがとうございます。
   １つよろしければ質問させてください。
   「上界には必ず最小値が存在する」
   「下界には必ず最大値が存在する」
   の証明はどのようなものなのでしょうか？

   返信
• 名前:オノコウスケ : 投稿日：2023/04/16(日) 14:07:31 ID：EwMDg1ODM

  shelly様

  コメントありがとうございます。
  また、大変鋭いご指摘、ありがとうございます。
  お答えいたします。

  >大変わかりやすいです。ありがとうございます。
  こちらこそ、ありがとうございます。大変励みになります。

  >「上界には必ず最小値が存在する」「下界には必ず最大値が存在する」の証明はどのようなものなのでしょうか？
  まず、ご質問の意図が「上限(および下限)は分かった。その性質として“上限は上界の最小値である(下限は下界の最大値である)”という性質も分かった。しかし、上限(下限)という概念を知らない立場において“上界(下界)の集合に最小値(最大値)が存在する”ということの証明はどうか。」というものでしたら、再度お問い合わせ下さい。
  今回のお問い合わせでは、「上限は上界の中で最小のものである」という主張を証明します(下限については上限と本質的に同じなので省略いたします)。
  結論から申し上げますと、以下のワイエルシュトラスの上限公理から従います。

  ワイエルシュトラスの上限公理

  $A\subset\mathbb{R}$、$A\neq\emptyset$、$A$は上に有界であるとする。このとき、$A$の上限$\sup A$が存在する。すなわち、上に有界かつ空でない$\mathbb{R}$の任意の部分集合は上限を持つ。

  (ワイエルシュトラスの上限公理の詳細は実数の連続性編 その6を御覧ください)

  確かに記事中では、例を使って

  空でない$A\subset\mathbb{R}$に対して、その上界の集合を$U(A)$とする。すなわち
  $$U(A)=\left\{M\in\mathbb{R}\middle|(\forall x\in A)\ x\leq M \right\}$$
  とするとき、$U(A)$には最小値が存在し、その最小値を$A$の上限(supremum of $A$)と呼び、$\sup A$で表す。

  というような表現で上限(および下限)を説明致しました。
  しかし、上限(および下限)を定める際には「最小値(下限のときは最大値)」という言葉は使っておりません。
  何が言いたいかといえば、

  “上限”(および下限)なる概念を定めれば、それは結果的に上界の最小値(下界の最大値)と一致する。

  という立場で記事を書いているということです。
  本記事では、デデキントの定理(実数の連続性編 その2)とワイエルシュトラスの上限公理の同値性を証明していますので、ワイエルシュトラスの上限公理は「正しい」と断言できます。
  そこで、ここでは

  命題

  $A\subset\mathbb{R}$、$A\neq\emptyset$、$A$は上に有界であるとする。このとき、$A$の上限$\sup A$が存在し、$\sup A$は$A$の上界のうち最小のものと一致する。

  を証明します。
  証明

  1. 上限の存在

  これは、ワイエルシュトラスの上限公理そのものであり、ワイエルシュトラスの上限公理はデデキントの定理から従うため、割愛します。
  (※「デデキントの定理$\Longrightarrow$ワイエルシュトラスの上限公理」の証明は実数の連続性編 その5を御覧ください。

  2. 上限ならば、上界のなかで最小のもの

  背理法で証明します(上限が、上界の中で最小のものでないと仮定して矛盾を導きます)。
  空でない$A\subset\mathbb{R}$の上限$\sup A$を$\alpha$と書いたとします。
  すなわち、$\alpha=\sup A$とします。
  ここで、$A$の上限とは以下でした。

  上限

  $A\subset\mathbb{R}$、$A\neq\emptyset$、$M\in\mathbb{R}$とする。このとき、

  1. $M$は$A$の上界である。

  すなわち、次が成り立つ。
  $$(\forall x\in A)\ x\leq M$$

  2. $M$より小さい数は$A$の上界でない。

  すなわち、以下が成り立つ。
  $$(\forall \varepsilon>0)(\exists x\in A)\ {\rm s.t.}\ x>M-\varepsilon$$
  を満たすならば、$M$を$A$の上限(supremum of $A$)といい、$M=\sup A$と書く。ただし、$A$が上に有界でないならば、$\sup A=\infty$と書く。

  さて、証明に戻ります。
  $\alpha=\sup A$ですから、$\alpha$は$A$の上界です。
  すなわち、
  $$(\forall x\in A)\ x\leq \alpha$$
  です。
  仮に、$\alpha$が上界の中で最小値でないとします。
  「そもそも、最小値とは何だったか？」というと以下でした。

  最小値

  $A\subset\mathbb{R}$とするとき、$I\in\mathbb{R}$が$A$の最小値であるとは

  1. $(\forall x\in A)\ x\geq I$
  2. $I\in A$

  が成り立つことをいう。

  今回は、「$\alpha$は$A$の上界の集合$U(A)$の最小値でない。」という仮定ですので、上記の否定が成り立ってます。
  すなわち、

  $(\exists \alpha^\prime\in U(A))\ {\rm s.t.}\ \alpha^\prime<\alpha$または$\alpha\not\in U(A)$

  が成り立っています。
  しかしながら、「$\alpha$は$A$の上界である」ということは仮定ですので、今回の場合は
  $$(\exists \alpha^\prime\in U(A))\ {\rm s.t.}\ \alpha^\prime<\alpha$$
  が成り立っているということになります
  とどのつまり、$\alpha$を$A$の上界の中で最小のものでないと仮定すれば、$A$の上界であり、かつ$\alpha$より小さい$\alpha^\prime\in\mathbb{R}$が存在するとわかる、ということです。
  まとめれば、

  1. $(\forall x\in A)\ x\leq\alpha^\prime$
  2. $\alpha^\prime<\alpha$

  を同時に満たす$\alpha^\prime\in\mathbb{R}$が存在するということです。
  しかしながら、これは
  $$(\forall \varepsilon>0)(\exists x\in A)\ {\rm s.t.}\ x>\alpha-\varepsilon$$
  に反します。
  したがって、$\alpha$は上界の集合$U(A)$の最小値です。

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