デデキントの定理⇒上限公理

本記事の内容

本記事はワイエルシュトラスの上限公理をデデキントの定理から導き、それを説明、証明する記事です。

本記事を読むにあたり、デデキントの定理を知っている必要があるため、以下の記事も合わせて御覧ください。

デデキントの切断？デデキントの定理の証明

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for-spring.com

2022.03.06

また、上限についても知っている必要があるため、以下の記事も合わせて御覧ください。

上に有界、上界、上限とは？

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2022.03.06

ワイエルシュトラスの上限公理

ワイエルシュトラスの上限公理は解析学の中でも非常に基本的な事実です。

先述しましたが、この公理はデデキントの定理から証明できます。
若干ネタバラシなのですが、その逆、すなわちワイエルシュトラスの上限公理を認めれば、デデキントの定理を示すことができます。

デデキントの定理は何だったかというと、以下です。

証明は【解析学の基礎シリーズ】実数の連続性編 その2を御覧ください。

ワイエルシュトラスの上限公理は「天井があるような集合には上限と呼ばれるMAX値（最大値ではない）が実数に存在しますよ、ということだ」と先に述べました。
これを今まで解説したことを思い出すと、上限は「その数よりも”ほんのちょっとでも”小さい数は上界じゃないぜ」という「その数」のことでした。
これはつまり、「どんな実数にもその十分近くにまた実数がある」ということが保証されなければ上限なんていうものは存在し得ない、ということになります。
ワイエルシュトラスの上限公理を認める、ということはこの上限の存在を保証することで、どんな実数にもその十分近くにまた実数があることを認めている、ということなのです。
論理式で書けば、

です。
ちなみに、公理ということをざっくり述べておくと「議論を行うための大前提」のことです。
ワイエルシュトラスの上限公理はデデキントの切断からデデキントの定理を導出することで、デデキントの定理から証明が可能なので、そういう言う意味では公理ではありません。
ただし、後に述べるようにこれら２つは同値なので、ワイエルシュトラスの上限公理を大前提として議論をすすめる立場もあります。
したがって、公理と呼んでいるのです。

証明

\(A\subset\mathbb{R}\)は空集合でなく、かつ上に有界であるとします。
また、\(A\)の上界の集合を\(B\)とします。
このとき、\(C=B^c=\mathbb{R}\setminus B\)とおくと、\((C,B)\)は\(\mathbb{R}\)の切断となっています。

すなわち、次が成り立ちます。

1. \(\mathbb{R}=C\cup B\)
   「\(\mathbb{R}\subset C\cup B\)かつ\(C\cup B\subset \mathbb{R}\)」を示せばOKです。（集合が等しいとはこれを示すことだった！）
   任意の\(x\in\mathbb{R}\)に対して、\(x\)が\(A\)の上界であれば、\(x\in\mathbb{R}\)かつ\(x\in B\)です。
   そうでなければ、\(x\in\mathbb{R}\)かつ\(x\not\in B\)です。
   従って、\(x\in\mathbb{R}\setminus B\)または\(x\in B\)が成り立つので、\(x\in\mathbb{R}\setminus B\cup B=C\cup B\)です。
   任意の\(x\in C\cup B\)に対して、\(x\in C\)であれ、\(x\in B\)であれ\(x\in \mathbb{R}\)です。
   従って、\(\mathbb{R}=C\cup B\)です。
2. \(C\cap B=\emptyset\)
   仮に\(C\cap B\neq\emptyset\)とすると(背理法！)、ある\(z\)が存在して\(z\in C\cap B\)を満たします。
   従って、「\(z\in\mathbb{R}\)かつ\(z\not\in B\)かつ\(z\in B\)」が真である事になってしまいますが、これは偽であり矛盾です。
3. \(C\neq \emptyset\), \(B\neq \emptyset\)
   \(B=\emptyset\)であれば(背理法！)、\(A\)に上界が存在しないことになりますが、これは\(A\)が上に有界であることに矛盾です。
   ある\(x\in A\)に対して、\(x-1\not\in B\)です。
   実際、\(x-1\in B\)であれば、任意の\(x\in A\)に対して\(x\leq x-1\)を満たすことになり、\(0\leq -1\)を得るため矛盾です。
   加えて、\(x\in A\subset \mathbb{R}\)ですから、\(x-1\in\mathbb{R}\)です。
   従って、\(x-1\in\mathbb{R}\setminus B=C\)となり、\(C\neq\emptyset\)です。
4. \(c\in C\)かつ\(b\in B\)ならば\(c<b\)
   任意の\(c\in C\)は\(A\)の上界ではないので、\(c\not\in B\)であり、ある\(x_0\in A\)が存在して\(x_0>c\)(\(c\)が\(A\)の上界であることの否定！)を満たします。
   また、\(b\in B\)により、任意の\(x\in A\)に対して\(x\leq b\)が成り立ちます。
   この命題は任意の\(x\in A\)について成り立つので、\(x_0\in A\)についても成り立ちます。
   つまり、\(x_0\leq b\)が成り立ちます。
   したがって、\(c<x_0\leq b\)ですから\(c<b\)です。

故に\((C,B)\)は\(\mathbb{R}\)の切断です。
デデキントの定理から、ある実数\(r\)が存在して、

1. \(C\)には最大値が無く、\(B\)には最小値\(r\)がある。
2. \(C\)には最大値\(r\)があり、\(B\)には最小値がない。

のいずれか一方が成り立ちます。
2.が成り立ったとしましょう。
つまり\(C\)には最大値\(r\)があり、\(B\)には最小値がないとします。
\(r\in C\)であれば、\((C,B)\)は切断ですので、\(r\not\in B\)です。
従って、\(r\)は\(A\)の上界ではありません。
すなわち、\(x_0>r\)を満たすような\(x_0\in A\)が存在します。
これを論理式で書けば、
$$(\exists x_0\in A)\ {\rm s.t.}\ x_0>r$$
(\(r\)が\(A\)の上界であることの否定！)です。
ここで、\(\displaystyle\frac{r+x_0}{2}\)は\(r\)と\(x_0\)の間にある数(有理数とは限りません)であり、これを\(b\)とします。
すなわち、\(b=\displaystyle\frac{r+x_0}{2}\)とおけば、
$$r<b<x_0$$
を満たします。
これは\(b\)が\(A\)の上界でないことを表しています。
故に\(b\in C\)です。
\(r\)は\(C\)の最大値ですから、任意の\(t\in C\)に対して、\(t\leq r\)を満たします。
\(b\in C\)ですから\(b\leq r\)も成り立ちます。
従って、\(r<b\)と\(b\leq r\)が同時に成り立つので矛盾です。
故に、2.の場合は起こり得ません。
すなわち、起こり得るのは1.の場合です。
つまり、\(C\)には最大値は存在せず、\(B\)には最小値\(r\)が存在します。
\(B\)とは\(A\)の上界の集合であり、上限とは上界の最小値ですから、\(r\)は\(A\)の上限です。

証明終わり

結

今回はワイエルシュトラスの上限公理をデデキントの定理から示しました。
これは「どんな実数のにもその十分近くにもまた実数がある。」という直感に対応します。

次回は「ワイエルシュトラスの上限公理とデデキントの定理は同値」です

乞うご期待！質問、コメントなどお待ちしております！