コーシー列とは？コーシー列の例

本記事の内容

本記事はコーシー列の例を挙げ、それを証明する記事です。
また、「コーシー列とは何か」ということを数学的に説明します。

本記事を読むにあたり、コーシー列のイメージを知っているとより分かりやすいと思われますので、以下の記事も合わせて御覧ください。

コーシー列のイメージをつかもう！

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for-spring.com

2022.03.17

コーシー列ってどんなの？

前回の記事で、コーシー列は

という発想から来ていると述べました。
つまり、

という条件を満たす数列がコーシー列なのです。
ネタバラシしておくと、実数の範囲では収束列であれば、必ずコーシー列です。

例1.
$\displaystyle a_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}$とします。
この数列はコーシー列です。
つまり、ある番号以降の$a_n$の値同士は十分近です。
ちなみに、この数列の項をいくつか具体的に書いてみると、次です。

• $a_1=1$,
• $a_2=\displaystyle1+\frac{1}{4}=1.25$,
• $\displaystyle a_2=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}=1.361111111\dots$,
• $\displaystyle a_5=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}=1.463611111\dots$,
• $\displaystyle a_{10}=1+\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{100}=1.54976773116654\dots$,
• $\displaystyle a_{100}=1+\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{10000}=1.643498390018489\dots$.

およそ収束するとは思えないのですが(筆者の主観だけどね)、これは上に有界な単調増加数列なので収束します(「有界な単調列は収束する。」という命題の証明は【解析学の基礎シリーズ】実数の連続性編 その9を御覧ください)。
さて、これがコーシー列であることを示しましょう。

アルキメデスの原理から、任意の正の実数$\epsilon$に対して、ある自然数$N$が存在して、$1<N\epsilon$を満たします。
従って、$\displaystyle\frac{1}{N}<\epsilon$を満たします。
自然数$m,n$が$m\geq N$を満たしていたとします。
さらに、先程見つけた自然数$N$について、$m,n\geq N$を満たしていたとします。
すなわち、$m\geq n\geq N$であるとします。
このとき、数列$\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$は単調増加数列であることを用いれば、
$$\begin{eqnarray} 0\leq a_m-a_n&=&1+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{m^2}-1-\frac{1}{2^2}-\cdots-\frac{1}{n^2}\\ &=&\frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{(n+2)^2}+\cdots+\frac{1}{m^2} \end{eqnarray}$$
となります。
また、分数において、分母が小さい数の方が大きいので、
$$\begin{eqnarray} &&\frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{(n+2)^2}+\cdots+\frac{1}{m^2}\\ &\leq&\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\cdots+\frac{1}{(m-1)m} \end{eqnarray}$$
となります。
ここで、部分分数分解(口に出して言うと毎回噛む。ぶぶんぶんぶんぶんとか言っちゃう。)を使うと、
$$\begin{eqnarray} &&\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\cdots+\frac{1}{(m-1)m}\\ &=&\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)+\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m}\right)\\ &=&\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\leq\frac{1}{n}\leq\frac{1}{N}<\epsilon \end{eqnarray}$$
となります。
$\epsilon$は任意の正の実数だったので、$a_m-a_n<\epsilon$が成り立ったのだから、$a_m$と$a_n$は十分近いです。
従って、数列$\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$はコーシー列です。
ちなみに、この数列は$\displaystyle\frac{\pi^2}{6}=1.64493406684\cdots$に収束することはLeonhard Euler(レオンハルト・オイラー)が証明しました。
気になった方は「バーゼル問題」を見てみると良いと思います。

で、コーシー列って？

コーシー列は

という条件を満たす数列のことだと述べました。
これを論理式で表すと次です。

結

今回は、「コーシー列とは何か」ということを明示しつつ、その例を挙げて証明を与えました。

実は、実数の範囲では「ある数列が収束列である。$\Rightarrow$ある数列がコーシー列である。」なのです。
これをコーシーの収束条件と呼ぶこともあります。

少々ネタバラシしておくと、コーシー列は収束する、ということを証明するためにボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理を使います。

次回は「収束列ならばコーシー列である。」ことの証明を与えます。

乞うご期待！質問、コメントなどお待ちしております！