「積分の区間に関する加法性」【解析学の基礎シリーズ】積分編 その9

本記事の内容

本記事は、積分の区間に関する加法性について解説する記事です。

本記事を読むにあたり、ダルブーの定理について知っている必要があるため、以下の記事も合わせてご覧ください。

「ダルブーの定理を証明しよう！」【解析学の基礎シリーズ】積分編 その3

...

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2022.08.12

積分の区間に関する加法性って？

内容自体は大したことはありません。
1次元の場合は高校数学で出てきています。

要するに、今回は
$$
\int_a^b f(x)\ dx=\int_a^c f(x)\ dx+\int_c^b f(x)\ dx
$$
が1次元だけでなく\(n\)次元でも成り立つ、ということを解説します。

主張の明示とその証明

\(I\)が\(\mathbb{R}\)の区間であって、\(I=I_1\cup I_2\)、\(I_1\cap I_2=\{c\}\)であったときにはまさに先程の
$$
\int_a^b f(x)\ dx=\int_a^c f(x)\ dx+\int_c^b f(x)\ dx
$$
を指しています。

定理1.の証明

今、\(\Delta\)の細分である分割\(D\)によって、\(\Delta\)の小区間\(I_k\ (k\in K(\Delta))\)の分割\(D_k\)が得られたとすると、\(D\)に関する\(f\)の\(I\)上の不足和\(s_D=s_D(f,I)\)に対して、
$$
s_D(f,I)=\sum_{k\in K(\Delta)}s_{D_k}(f,I_k)
$$
が成り立ちます。
ここで、\(d(D)\to0\)とすると、全ての\(k\in K(\Delta)\)に対して、\(d(D_k)\to0\)でもあります。

ここで、ダルブーの定理を使います。

定理2.(ダルブーの定理)の証明は【解析学の基礎シリーズ】積分編 その3を御覧ください。

定理2.(ダルブーの定理)から、下積分について
$$
\underline{\int_I}f(\boldsymbol{x})\ d\boldsymbol{x}=\sum_{k\in K(\Delta)}\underline{\int_{I_k}}f(\boldsymbol{x})\ d\boldsymbol{x}\cdots②
$$
が成り立ちます。

同様にして上積分についても
$$
\overline{\int_I}f(\boldsymbol{x})\ d\boldsymbol{x}=\sum_{k\in K(\Delta)}\overline{\int_{I_k}}f(\boldsymbol{x})\ d\boldsymbol{x}\cdots③
$$
が成り立ちます。

ここで、以下の可積分条件を使います。

定理0.の証明は【解析学の基礎シリーズ】積分編 その4および【解析学の基礎シリーズ】積分編 その5を御覧ください。

今、\(f\)が\(I\)上で可積分だから、定理0.の4.が成り立ち、
$$
\underline{\int_I}f(\boldsymbol{x})\ d\boldsymbol{x}=\overline{\int_I}f(\boldsymbol{x})\ d\boldsymbol{x}
$$
です。

一方で、任意の\(k\in K(\Delta)\)に対して
$$
\underline{\int_{I_k}}f(\boldsymbol{x})\ d\boldsymbol{x}\leq\overline{\int_{I_k}}f(\boldsymbol{x})\ d\boldsymbol{x}
$$
が成り立っているので、この不等号は全て等号でなければなりません。
そこで、\(f\)は各\(I_k\ (k\in K(\Delta))\)上で可積分で①が成り立ちます。

逆に、\(f\)が各\(I_k\)で可積分ならば、任意の\(k\in K(\Delta)\)に対して、
$$
\underline{\int_{I_k}}f(\boldsymbol{x})\ d\boldsymbol{x}=\overline{\int_{I_k}}f(\boldsymbol{x})\ d\boldsymbol{x}
$$
が成り立つから、②と③により
$$
\underline{\int_{I}}f(\boldsymbol{x})\ d\boldsymbol{x}=\overline{\int_{I}}f(\boldsymbol{x})\ d\boldsymbol{x}
$$
となり、\(f\)は\(I\)上で可積分です。

定理1.の証明終わり

積分の区間に関する加法性の系

定理1.の系を1つ解説します。

直感的には「当たり前でしょ」ということです。

一言でいうと、

という主張です。

系3.の証明

簡単です。

ある\(k\in K(\Delta)\)に対して、\(I_k=J\)となるような\(I\)の分割\(\Delta\)を1つ取ります。
この分割に対して定理1.を適用させればOKです。

系3.の証明終わり

定理1.を確かめてみます。

例4. \(I=[0,2]\)、\(f:I\to\mathbb{R}\)を\(f(x)=x\)で定めます。
これは以前に証明したように\(f\)は\(I\)上で可積分で、
$$
\int_If(x)\ dx=\int_0^2x\ dx=\left[ \frac{1}{2}x^2\right]_0^2=\frac{1}{2}(4-0)=2
$$
です。

ここで、\(I=[0,1]\cup[1,2]\)として、各区間について積分を計算してみます。

\begin{eqnarray}
&&\int_0^1x\ dx=\left[ \frac{1}{2}x^2\right]_0^1=\frac{1}{2}(1-0)=\frac{1}{2}\\
&&\int_1^2x\ dx=\left[ \frac{1}{2}x^2\right]_1^2=\frac{1}{2}(4-1)=\frac{3}{2}
\end{eqnarray}
となるので、
$$
\int_0^1x\ dx+\int_1^2x\ dx=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2
$$
となり、確かに一致します。

皆様のコメントを下さい！

数学ばかりやっていると、頭が混乱することはありませんか？
数学だけに限らず、息抜きというものは必要だと思います。

筆者は博士後期課程に進学していますが、そこで得た数学者と数学をやっている人の特徴を紹介します(勿論、筆者の周りではという話ですが)。

数学者の方は、よくコーヒーを飲む印象があります。
さらに、そのコーヒーの量がえらく多いです。
「胃が痛くならないのかな？」と思うくらいです。
筆者はコーヒーよりも紅茶派なので、コーヒーはあまり飲みませんが。

さらに、お酒の量も尋常じゃありません。
めちゃめちゃ飲みます。
数学をやっている方全員じゃないにしろ、趣味が「お酒を嗜むこと」という方は多い印象があります。

皆様は数学をやっている人にどういう印象がありますか？
コメントで教えて下さい！

結

今回は、積分の区間に関する加法性について解説しました。
既に高校数学で学んでいたことが\(n\)次元でも成り立つよ、ということを解説しました。

次回はベクトル値関数の積分を解説します。

乞うご期待！
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