「集合って？」「部分集合って？」【論理と集合シリーズ】数学の文章を読むための論理的思考の基礎　その５

本記事の内容

本記事は「数学の文章って何言ってるかわかんない」、「論理的ってどういうこと？」、「数学の勉強をしてみたいけど、何が書いてあるか読めない」という方向けである。

前回までの記事で論理については一段落したので、今回は集合について解説する。

論理については以下の前回までの記事をご参照ください。

「命題とは？」【論理と集合シリーズ】数学の文章を読むための論理的思考の基礎　その１

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「命題の否定？」【論理と集合シリーズ】数学の文章を読むための論理的思考の基礎　その２

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真理値表とは？「かつ、または、ならば」とは？

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「任意の」、「存在する」【論理と集合シリーズ】数学の文章を読むための論理的思考の基礎 その４

本記事の内容本記事は「数学の文章って何言ってるかわかんない」、「論理的ってどういうこと？」、「数学の勉強をしてみたいけど、何が書いてあるか読めない」という方向けである。そういう方に向けて、「任意の」および「存在する」ついてを切り口に述語論理

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序

数学で集合はありとあらゆるところで出現する。
数学は集合の言葉で書かれている、と言っても過言ではない。
例えば、「どの範囲のどんなモノに対して、何が成り立つのか？」ということが数学ではよく議論の対象となる。
実のところ、集合論は非常に広く深いため、それを網羅することは誠に難しい。
従って、今回は基礎ということで度々出現し、かつ数学の文章を読む上で重要な集合について述べることにする。

ちょっとしたコラム、ということで少々歴史の話をしよう。
とはいえ、本記事の内容とは全く関係がないので、読み飛ばしてもらって一向に構わない。

集合論という分野が出現した初期の段階では、集合は「普通の意味でのモノの集まり」として導入され、考察された。
この立場を現在では素朴集合論という。
これは集合をある種直感的に理解する立場、ということだ。
ここでいう「普通の意味でのモノの集まり」ということを定式化すると、
$$任意の命題p(x)に対して、p(x)を満たす要素xの集合\{x|p(x)\}が存在する。$$
となる。

記号を導入していないので、「なんだこりゃ？」となるかもしれないのだが、要は「どんな命題に対してもその命題を満たすようなモノの集まりがあるよ、と認めます。」という立場である。

一見「いいんじゃないの？」と思うかもしれないが、実は良くない。
というのもパラドックスが起こってしまうからである。
有名なパラドックスを名前だけ挙げておく。
もし興味があれば、それぞれ調べていただきたい。

• カントールのパラドックス
• ブラリ＝フォルティのパラドックス
• ラッセルのパラドックス
• カリーのパラドックス
• リシャールのパラドックス
• ベリーのパラドックス

これを受け、公理的集合論という新たにできた集合論が出現し、現在ではこれが主流である。
要は、素朴に「モノの集まりが集合ですよ」と捉えてしまうとパラドックスが起こってしまうんだ、ということである。
しかし一方で、公理的集合論を説明せよ、というと明らかに基礎から逸脱してしまうため、ここでは説明しない。

というわけで、少々ズルをして、本当は「集合とはモノの集まりである、というのはウソだが、ほぼ正解であるし、あくまで基礎を述べる記事だから、そういうふうに説明をしますよ」と逃げることにする。（許して）

集合ってどんなもの？

序で少々述べたとおり、基本的には「モノの集まり」と捉えてほぼ差し支えない。
とはいえ、これだとあまりにも抽象的すぎるため、例と共に集合を説明する。

（集合の例）

• 日本人全員を集めたグループ
• アメリカ人全員を集めたグループ
• 東京都に住んでいる日本人のグループ
• 東京都に住んでいる人のグループ
• \(x^2+y^2=1\)を満たすような実数\(x,y\)のグループ
• 連続な関数\(f\)のグループ

(集合でない例)

• 背が高い人のグループ
• イケメンのグループ
• 大きな実数\(x\)のグループ

つまり、集合は「そのグループに属すか否かが判定できるようなものの集まり」である。
少々真面目に言えば、「そのグループに属すか否かの判断をする際、その条件が命題であるようなモノの集まり」である。

集合でない例を見てみると、「背が高い」やら「イケメンである」やら「大きな実数」というのは命題ではない。
命題については
「命題とは？」【論理と集合シリーズ】数学の文章を読むための論理的思考の基礎　その１を参照ください。

集合はアルファベットの大文字を使って表すことが多い。
また、その集合に属するモノはアルファベットの小文字を使うことが多い。
数学において、属するモノが1個でも、0個でも集合と捉える。

集合の要素、元

集合に属するモノを要素(element)、元という。

「\(a\)が集合\(A\)の要素である」、「\(a\)は集合\(A\)に属する」(\(a\) is an element of \(A\).)を
$$a\in A\ または\ A\ni a$$
と書く。

また、\(a\in A\)を「（集合）\(A\)は\(a\)を含む。」やら「\(a\)は（集合）\(A\)に含まれる」と言ったりもする。
ここで、”\(\in\)”という記号は”element”の頭文字”e”から来ている。

更に、\(a\)が集合\(A\)の要素でない（\(\lnot(a\in A)\)）を
$$a\not\in A\ または\ A\not\ni a$$
と書く。

例えば、筆者は日本人であるので、筆者は日本人を集めたグループという集合の要素である。
これを先の記号を用いて表すと、
$$筆者\in 日本人全員を集めたグループ$$
となるわけである。
同様にして
$$筆者\not\in アメリカ人全員を集めたグループ$$
となる。
数学の例を挙げると、
$$1\in 自然数を集めたグループ、\ 円周率\not\in有理数を集めたグループ$$
と言った具合である。

ここで１つ注意がある。
集合の要素は同じモノがダブっていても同じ集合とみなす。
すなわち、\(1,2,3\)を集めた集合と\(1,1,2,3\)を集めた集合は同じ集合であると捉える。

集合の書き方(表し方)

集合の書き方、表し方には大きく分けて以下の２パターンある。

1. 要素を全部並べる方法
2. 要素の条件を書く方法

数学における文章では、そのほとんどが2.の方法で書かれている。

要素を全部並べる方法

2.にも共通するのだが、要素を\(\{\}\)で囲むことで集合を表す。

数学において、中括弧\(\{\}\)は集合の分野以外でも数式中など多く使われるのだが、集合を表す場合は必ず中括弧\(\{\}\)を用いる。

例1.
このブログを運営している人のグループの要素(人)は、”のり”、”たか”、”オノコウスケ”の3人であるから、この集合は
$${のり,たか,オノコウスケ}$$
と書かれる。
また、”オノコウスケは”この集合の要素であるから、
$$オノコウスケ\in{のり,たか,オノコウスケ}$$
と書ける。
一方、ヒ○キンさんはこのブログを運営していないので、
$$ヒカ○ン\not\in{のり,たか,オノコウスケ}$$
である。

例2.
\(1,2,3\)を集めた集合\(A\)は
$$A={1,2,3}$$
と書かれる。
同様に、
$$7\not\in{1,2,3}$$
である。

例3.
自然数を全て集めた集合\(\mathbb{N}\)(“Natural number”の頭文字”N”から来ている)は
$$\mathbb{N}={1,2,3,\dots}$$
というように、要素の個数が無限個の場合は”\(\dots\)”を使って表現することもある。

ちなみに、要素が1つだけの集合は\(\{1\}\)のように書き、要素が1つもない集合(これを空集合という)は\(\emptyset\)を用いて表す。

空集合は形式的には\(\emptyset=\{\}\)ということである。
この\(\emptyset\)はギリシャ文字の\(\phi\)(ファイ)と似ているが、\(\phi\)ではない。

補足
\(\{a\}\)と\(\{\{a\}\}\)は異なる。
前者は\(a\)が要素なのに対し、後者は\(\{a\}\)という集合が要素の集合である。
このように要素が集合であるような集合を集合族という。(次回)

要素の条件を書く方法

先述の通り、要素を全て並べて書く方法よりも、本小節の要素の条件を書く方法で集合が記述される場合が多い。

自然数を全て集めた集合\(\mathbb{N}\)のように、集合の要素の数が無限個であったり、有限個だが莫大であるようなときは要素をすべて並べて書くのは大変である。
そこで、要素の条件を書くことで集合を表す記法がある。

要は、「何の集まり(集合)で、それはどんな条件を満たすのか？」を明示する方法というわけである。
形式的には次のような風貌をしている。

何の集まりか、それが満たす条件を分けるバー\(\mid\)を;(セミコロン)で書く流派もある。

例4.
このブログを運営している人の集合\(\{のり,まつもと,オノコウスケ\}\)は次のように書く。
$$\{のり,まつもと,オノコウスケ\}=\{x\mid xはこのブログを運営している人\}$$

例5.
東京都に住んでいる人の集合は
$$\{y\mid\ yは東京都に住んでいる人\}$$
と書く。

例5.
\(A=\{1,2,3\}\)は
$$A=\{n\mid n=1,2,3\}やら\{a\in\mathbb{N}\mid x=1,2,3\}やら\{t\in\mathbb{N}\mid t\leq 3\}$$
などと書かれる。

例6.
奇数を集めた集合は\({x\in\mathbb{Z}\mid xは2で割り切れない}\)と書けるのだが、奇数はある整数\(k\)を用いて\(2k+1\)の形で書けるので、
$$\{x\in\mathbb{Z}\mid\exists k\in\mathbb{Z}\ {\rm s.t.}\ x=2k+1\}$$
と書くことができる。

前回の記事(「任意の」、「存在する」【論理と集合シリーズ】数学の文章を読むための論理的思考の基礎 その４)もはせて参照してほしいのだが、なぜ奇数を集めた集合を「\(\{x\in\mathbb{Z}\mid\exists k\in\mathbb{Z}\ {\rm s.t.}\ x=2k+1\}\)」と書き換えることができる理由、もとい書き換える際の筆者の頭の中を少々補足という形で記す。

補足:奇数を集めた集合ということは、要素は整数である。
数はアルファベットの小文字を使って表すことが多いから今回は\(x\)を採用することにして、奇数を集めた集合は
$$\{x\in\mathbb{Z}\mid xは奇数\}$$
と、まずはこうなるのだな、となる。
その後、奇数は\(2k+1\)の形をしていること、この\(k\)は整数であることを思い出せば、\(x\)が奇数であるということは\(x=2k+1\)を満たすような整数\(k\)が存在する、ということだと気がつく。
これをまとめると\(\{x\in\mathbb{Z}\mid\exists k\in\mathbb{Z}\ {\rm s.t.}\ x=2k+1\)が得られるというわけである。

例7.
東京都に住んでいる日本人を集めた集合を論理式で表すと、
$${x\in 日本人\mid (\exists 住所)\ {\rm s.t.}\ (住所=xの住所\land 住所\in 東京都内の住所)}$$
となる。
もっと論理式っぽく書くのであれば

• \(J\):日本人を全て集めた集合
• \(x\):人
• \(A\):日本の全ての住所を集めた集合
• \(a_x\):\(x\)の住所
• \(A_T\):東京都内の住所を全て集めた集合

とすると、
$${x\in J\mid (\exists a\in A)\ {\rm s.t.}\ (a=a_x\land a\in A_T)}$$
やら
$${x\in J\mid a_x\in A_T}$$
と書ける。

この小節で是非覚えてほしい、最重要なポイントは

である。

部分集合

これまでは、ある一つの集合に対して、その書き方について説明をした。
今後は複数の集合の間の関係性やら、頻出する集合の種類について述べる。

最初に部分集合について述べる。
複数の集合、特に2つの集\(A,B\)が与えられたとき、集合として一方が一方に含まれるか、または含まれないかに興味がある場合がある。

例えば、神奈川県川崎市出身の人の集合は神奈川県出身の人の集合に含まれる。
同様に神奈川県横浜市出身の人の集合は神奈川県出身の人の集合に含まれる。
しかし、逆に神奈川県出身の人の集合は神奈川県川崎市出身の人の集合にも神奈川県横浜市出身の人の集合にも含まれない。
つまり、神奈川県出身だからといって、必ずしも川崎市出身でもなければ、横浜市出身というわけでもない、ということである。

このようにある集合の一部分を見つけることで、大本の集合をグループ分けすることができる。
今回の例で言うと、神奈川県出身の人の集合は川崎市出身の人の集合、横浜市出身の人の集合と、この２つ以外の神奈川県の市町村出身の人の集合というように３パターンに分けられる。
大本の集合を細かくグループ分けすることによって、場合分けができるのだから、問題を解決する際に役に立つ。

一方で数学の例を考えてみる。
「6の倍数について〇〇が成り立つ。」という命題があったとする。
6は2でも3でも割り切れるため、6の倍数の集合は2の倍数の集合にも、3の倍数の集合にも含まれる。
故に「6の倍数について〇〇が成り立つ。」という命題は「2の倍数であり、かつ3の倍数でもある数に対して〇〇が成り立つ。」というように条件を簡略化、具体化することができる。

ちなみに

• 6の倍数の集合\(=\{x\in\mathbb{Z}\mid (\exists k\in\mathbb{Z})\ {\rm s.t.}\ x=6k\}=\{6k\mid k\in\mathbb{Z}\}\)
• 2の倍数の集合\(=\{x\in\mathbb{Z}\mid (\exists k\in\mathbb{Z})\ {\rm s.t.}\ x=2k\}=\{2k\mid k\in\mathbb{Z}\}\)
• 3の倍数の集合\(=\{x\in\mathbb{Z}\mid (\exists k\in\mathbb{Z})\ {\rm s.t.}\ x=3k\}=\{3k\mid k\in\mathbb{Z}\}\)

である。

このように条件を言い換える(同値な変形)際に、複数の集合の含み含まれるという関係が役に立つため、興味がある場合があるのである。

一般に、集合\(A\)の要素が全て集合\(B\)の要素であるとき、\(A\)は\(B\)の部分集合(subset)であるという。

これを論理式で表せば、

となる。
この命題は集合\(A\)と集合\(B\)が等しくても真である。
集合\(A\)は集合\(B\)の部分集合だが、一致していないとき、\(A\subset B\)と書く(このとき集合\(A\)は集合\(B\)の真部分集合であるという。)。

集合\(A\)は集合\(B\)の部分集合だが、一致している場合も含むとき、\(A\subseteq B\)と書く。
後者は\(A\subset B\lor A=B\)が成立する、という意味である。
これらの否定は、要素のときと同様に\(\not\subset\)、\(\not\subseteq\)を用いる。

仮に「集合\(A\)が集合\(B\)に含まれる事を示しなさい」と言われたら、上記の命題を示せ、ということである。

上記の例を流用すると、

• 神奈川県川崎市出身の人の集合\(\subset\)神奈川県出身の人の集合
• 神奈川県横浜市出身の人の集合\(\subset\)神奈川県出身の人の集合
• 神奈川県出身の人の集合\(\not\subset\)神奈川県川崎市出身の人の集合
• 神奈川県出身の人の集合\(\not\subset\)神奈川県横浜市出身の人の集合
• \(\{6k\mid k\in\mathbb{Z}\}\subset \{2k\mid k\in\mathbb{Z}\}\)
• \(\{6k\mid k\in\mathbb{Z}\}\subset \{3k\mid k\in\mathbb{Z}\}\)
• \(\{2k\mid k\in\mathbb{Z}\}\not\subset \{6k\mid k\in\mathbb{Z}\}\)
• \(\{3k\mid k\in\mathbb{Z}\}\not\subset \{6k\mid k\in\mathbb{Z}\}\)

というわけである。

集合が”等しい”って？

前節の部分集合でサラッと集合の相等（等しい）ということについて触れたのだが、この節で集合が等しいというのはどういうことかについて述べる。

与えられた2つの集合\(A,B\)が等しいというのは、\(A,B\)の要素が全て一致しているときを言うのである。
これはある種直感通りと言えよう。
このとき\(A=B\)または\(B=A\)と書く。

また、等しくないとき\(A\neq B\)または\(B\neq A\)と書く。

例7.
神奈川県横浜市の固定電話の番号を集めた集合と、045から始まる電話番号の集合は要素が一致しているため等しい。

例8.
アメリカ人全員を集めた集合と日本人全員を集めた集合は、要素が一致しないため等しくない。

例9.
筆者、Xさん、Yさんのグループと筆者、Xさん、YさんおよびXさんと同姓同名だが別人のXさんのグループは等しくない。

例10.
偶数を全て集めた集合と\(\{2k\mid k\in\mathbb{Z}\}\)は要素が一致するため等しい。

ここで、例10.を見ると、「偶数は整数\(k\)を用いて\(2k\)と書けるのだから等しいでしょ」と思えるのだが、数学に出現する集合の多くは例のように分かりやすいものばかりではない。
さらにいえば、例7、例8、例9はすべて要素が有限個の集合であるので、気合があれば要素を全て羅列することで要素が一致するかを吟味できるのだが、例10は要素が無限個であるので、その手法は使えない。
もっと言えば、たとえ要素が有限個だったとしても要素の数が膨大な場合はいちいち要素を羅列するのは現実的でない。
よって、要素が無限個の集合(無限集合という)の場合も鑑みた「集合が等しいとはどういうことか？」ということを述べる。

一般に、集合\(A\)が集合\(B\)と等しいとは、\(A\)および\(B\)が互いに含み、含まれる関係にあるときをいう。
これを論理式で表せば、

となる。
これを先述の部分集合の論理式を使って書き直せば、
$$((\forall a\in A)\ (a\in A\Rightarrow a\in B))\land ((\forall b\in B)\ (b\in B\Rightarrow b\in A))$$
が成り立つときに集合\(A\)と集合\(B\)は等しいという。

「集合\(A\)と集合\B\が等しい事を示しなさい」といわれたらば、上記を示しなさい、ということである。

くどいようだが例を挙げておくと、

例7.
\A\:神奈川県横浜市の固定電話の番号を集めた集合、\(B\):045から始まる電話番号の集合とする。
\(A\)の要素は、電話番号であり、東京都にある固定電話の番号は045から始まるため、\(B\)の要素である。
逆に、\(B\)の要素も電話番号であり、045で始まる。
神奈川県横浜市にある固定電話の番号はやはり045から始まるので、\(B\)の要素もまた\(A\)の要素である。
従って、\(A=B\)。

例9.
\(A=\{筆者,Xさん,Yさん\}\)、\(B=\{筆者,Xさん,Yさん,Xさんと同姓同名だが別人のXさん\}\)とする。
\(A\)の要素は全て\(B\)に含まれるため、\(A\)の要素は\(B\)の要素でもある。
しかし、”Xさんと同姓同名だが別人のXさん”は\(A\)の要素ではない。
従って、\(A\subset B\)だが、\(A\neq B\)。

例10.
\(A\):偶数を全て集めた集合、\(B=\{2k\mid k\in\mathbb{Z}\}\)とする。
\(A\)の要素は全て偶数であり、偶数は全て整数\(k\)を用いて\(2k\)の形で書けるため、\(A\)要素は全て\(B\)の要素である。
逆に、\(B\)の要素は全て整数\(k\)を用いて\(2k\)の形で書ける。
\(2k\)の形で書ける整数は全て\(2\)で割り切ることができるため、偶数であるから、\(B\)の要素は全て\(A\)の要素である。
従って、\(A=B\)。

結

今回は「集合ってどんなものか？」、「集合の書き方は？」、「部分集合って？」ということにフォーカスして解説した。
集合とは「属すか属さないかを命題として判断できるようなモノの集まり」であった。
ただし、実はこれでは厳密ではなく不十分であり、「集合ってこれです！」と言い切ってしまうとパラドックスが起きたりするので本当はよろしくない。
しかしながら、おおよそこの認識で問題ないため、基礎ということで逃げている。
(筆者の経験からしても、この認識でほとんど問題ない。)

部分集合はある２つの集合に対して、一方が一方に含まれるとき、含まれる側の集合を一方の部分集合と呼ぶのであった。
論理式的には集合が一致していても真なる命題で部分集合を説明したのだが、一致することなく完全に含まれてしまうような部分集合を真部分集合という。

この記事で是非覚えてほしいのはたった１つである。それは

に注意してほしいということである。

次回は和集合、共通部分、差集合、補集合、直積集合、冪集合、集合族といった数学でよく使われる集合について解説する。
次回を読めば、集合の話は一段落である。
次次回はいよいよ数学の話、特に実数の連続性について解説することになる。

乞うご期待！
質問、コメントなどお待ちしております！