本記事の内容
本記事は初等関数の原始関数を紹介、証明する記事です。
本記事を読むにあたり、微分積分学の基本定理の系と、初等関数の微分法を知っている必要があるため、以下の記事も合わせてご覧ください。
↓微分積分学の基本定理の系の記事
↓初等関数の微分法の記事
微分積分学の基本定理の系の軽い復習
前回、
定理1.(微分積分学の基本定理の系)
\(f\)を\(I=[a,b]\ (a<b)\)で連続な実数値関数とするとき、次の2つが成り立つ。- \(f\)の不定積分\(\displaystyle F(x)=\int_a^xf(y)\ dy\)は、\(I\)における\(f\)の原始関数である。
- \(I\)における\(f\)の任意の1つの原始関数\(G(x)\)は\(G(x)=F(x)+C\ \)(\(C\)は定数)の形で、基本公式 $$ \int_a^b f(x)\ dx=G(b)-G(a)\cdots① $$ が成り立つ。また①の右辺を\(\left[ G(x)\right]_a^b\)と表す。
を証明しました。
詳しくは【解析学の基礎シリーズ】積分編 その15を御覧ください。
定理1.により、関数の積分は、その関数の原始関数さえ分かってしまえばよい、ということが分かります。
原始関数とは何だったかというと、以下でした。
原始関数
\(I\subset\mathbb{R}\)として、\(f,F\)が\(I\)上で定められた関数とする。\(F\)は\(I\)上で微分可能で $$ (\forall x\in I)\quad F^\prime(x)=f(x) $$ を満たすとき、\(F\)は\(f\)の(\(I\)における)原始関数であるという。要するに、原始関数\(F\)は\(F\)の導関数が\(f\)と一致するような関数ということですので、これを求めてしまえば、積分が計算出来る、ということになります。
そこで、初等関数の原始関数、特に今回は多項式関数、有理関数、無理関数の原始関数について解説します。
※注意※ 定理1.から不定積分\(F\)と連続関数\(f\)の原始関数は定数しか違いがありません。
そこで、ここでは\(f\)の原始関数の1つを
$$
\int f(x)\ dx
$$
で表すことにします。
多項式関数\(x^r\ (r\neq-1)\)の原始関数
命題2.
\(f(x)=x^r\ (r\neq-1)\)の原始関数\(\displaystyle F(x)=\int f(x)\ dx\)は $$ F(x)=\frac{x^{r+1}}{r+1} $$ である。命題2.の証明
これは既に証明しているようなものです。
なぜなら以下を証明しているからです。
定理3.
\(a,\ n\in\mathbb{R}\)とする。このとき、 $$ \left( ax^n\right)^\prime=anx^{n-1} $$ が成り立つ。定理3.の証明は【解析学の基礎シリーズ】１変数実数値関数の微分編 その5を御覧ください。
定理3.を使うことで、
\begin{eqnarray}
F^\prime(x)=\left(\frac{x^{r+1}}{r+1}\right)^\prime=\frac{1}{r+1}\cdot (r+1)\cdot x^{r+1-1}=x^r=f(x)
\end{eqnarray}
が得られるため、証明完了です。
命題2.の証明終わり
\(\displaystyle\frac{1}{x}\)の原始関数
命題4.
\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}\)の原始関数\(\displaystyle F(x)=\int f(x)\ dx\)は $$ F(x)=\log \left|x\right| $$ である。命題4.の証明
絶対値がついている理由は、対数関数\(\log\)の定義域が正の実数だからです。
これも既に証明しているようなものです。
なぜなら以下を証明しているからです。
定理5.
\(a>0\)かつ\(a\neq 1\)とする。このとき $$ \left(\log_ax\right)^\prime=\frac{1}{x\log a} $$ が成り立つ。特に\(a=e\)(ネイピア数)ならば、\(\displaystyle\left( \log x\right)^\prime=\frac{1}{x}\)である。定理5.の証明は【解析学の基礎シリーズ】１変数実数値関数の微分編 その5を御覧ください。
定理5.において、\(a=e\)(ネイピア数)の場合を使います。
\begin{eqnarray}
F^\prime(x)=\left(\log|x|\right)^\prime=\frac{1}{x\log e}=\frac{1}{x}=f(x)
\end{eqnarray}
が得られるため、証明完了です。
命題4.の証明終わり
有理関数の原始関数
\(\displaystyle\frac{1}{x^2+a^2}\ (a\neq0)\)の原始関数
命題6.
\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+a^2}\ (a\neq0)\)の原始関数\(\displaystyle F(x)=\int f(x)\ dx\)は $$ F(x)=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} $$ である。命題6.の証明
\(a=0\)のときは\(x^r\ (r\neq-1)\)の原始関数に帰着されます。
これも既に証明しているようなものです。
なぜなら以下を証明しているからです。
命題7.
任意の\(x\in \mathbb{R}\)に対して、 $$ \left(\arctan x \right)^\prime=\frac{1}{1+x^2} $$ が成り立つ。命題7.の証明は【解析学の基礎シリーズ】１変数実数値関数の微分編 その6を御覧ください。
命題7.と合成関数の微分法により、
\begin{eqnarray}
F^\prime(x)&=&\left(\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}\right)^\prime\\
&=&\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\displaystyle1+\frac{x^2}{a^2}}\cdot \frac{1}{a}\\
&=&\frac{1}{a^2}\cdot\frac{a^2}{a^2+x^2}\\
&=&\frac{1}{a^2+x^2}=f(x)
\end{eqnarray}
が得られるため、証明完了です。
命題6.の証明終わり
\(\displaystyle\frac{1}{x^2-a^2}\ (a\neq0)\)の原始関数
命題8.
\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2-a^2}\ (a\neq0)\)の原始関数\(\displaystyle F(x)=\int f(x)\ dx\)は $$ F(x)=\frac{1}{2a}\log\left|\frac{x-a}{x+a}\right| $$ である。命題8.の証明
\(a=0\)の場合は\(x^r\ (r\neq-1)\)の場合に帰着されます。
これも定理5.から直ちに分かります。
\begin{eqnarray}
F^\prime(x)&=&\left(\frac{1}{2a}\log\left|\frac{x-a}{x+a}\right|\right)^\prime\\
&=&\frac{1}{2a}\left(\log\left|x-a\right|-\log \left|x+a\right|\right)^\prime\\
&=&\frac{1}{2a}\cdot\left(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a}\right)\\
&=&\frac{1}{2a}\cdot \frac{x+a-x+a}{(x-a)(x+a)}\\
&=&\frac{1}{2a}\cdot \frac{2a}{(x-a)(x+a)}\\
&=&\frac{1}{x^2-a^2}=f(x)
\end{eqnarray}
を得るため、証明完了です。
命題8.の証明終わり
無理関数の原始関数
\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\ (a\neq0)\)の原始関数
命題9.
\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\ (a\neq0)\)の原始関数\(\displaystyle F(x)=\int f(x)\ dx\)は $$ F(x)=\arcsin \frac{x}{a} $$ である。命題9.の証明
これも既に証明しているようなものです。
なぜなら以下を証明しているからです。
定理10.
\(-1\leq x\leq 1\)に対して、 $$ \left(\arcsin x \right)^\prime=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$ が成り立つ。定理10.の証明は【解析学の基礎シリーズ】１変数実数値関数の微分編 その6を御覧ください。
定理10.と合成関数の微分法から直ちに分かります。
\begin{eqnarray}
F^\prime(x)&=&\left(\arcsin\frac{x}{a}\right)^\prime\\
&=&\frac{1}{\displaystyle\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}}\cdot\frac{1}{a}\\
&=&\frac{1}{\displaystyle a\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}}\\
&=&\frac{1}{\displaystyle \sqrt{a^2-a^2\cdot\frac{x^2}{a^2}}}\\
&=&\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\\
\end{eqnarray}
を得るため、証明完了です。
命題9.の証明終わり
\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{a^2\pm x^2}}\)の原始関数
命題11.
\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}\ (a\neq0)\)の原始関数\(\displaystyle F(x)=\int f(x)\ dx\)は $$ F(x)=\log\left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right| $$ である。命題11.の証明
定理5.と合成関数の微分法を使います。
\begin{eqnarray}
F^\prime(x)&=&\left(\log\left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|\right)^\prime\\
&=&\frac{1}{x+\sqrt{x^2\pm a^2}}\cdot\left( 1+\frac{1}{2}(x^2\pm a^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot 2x\right)\\
&=&\frac{1}{x+\sqrt{x^2\pm a^2}}\cdot\left( 1+\frac{x}{\sqrt{x^2\pm a^2}}\right)\\
&=&\frac{1}{x+\sqrt{x^2\pm a^2}}\cdot\frac{\sqrt{x^2\pm a^2}+x}{\sqrt{x^2\pm a^2}}\\
&=&\frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}
\end{eqnarray}
を得るため、証明完了です。
命題11.の証明終わり
\(\displaystyle\sqrt{a^2-x^2}\ (a\neq0)\)の原始関数
命題12.
\(\displaystyle f(x)=\sqrt{a^2-x^2}\ (a\neq0)\)の原始関数\(\displaystyle F(x)=\int f(x)\ dx\)は $$ F(x)=\frac{1}{2}\left\{x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\arcsin \frac{x}{a}\right\}$$ である。命題12.の証明
定理10.と合成関数の微分法と積の微分法を使います。
\begin{eqnarray}
F^\prime(x)&=&\left(\frac{1}{2}\left\{x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\arcsin \frac{x}{a}\right\}\right)^\prime\\
&=&\frac{1}{2}\left\{\sqrt{a^2-x^2}+x\cdot\frac{1}{2}(a^2-x^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot(-2x)+a^2\cdot\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\right\}\\
&=&\frac{1}{2}\left( \sqrt{a^2-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}+\frac{a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\right)\\
&=&\frac{1}{2}\left(\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2-x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\right)\\
&=&\frac{1}{2}\left(\sqrt{a^2-x^2}+\sqrt{a^2-x^2}\right)\\
&=&\frac{1}{2}\cdot2\cdot\sqrt{a^2-x^2}\\
&=&\sqrt{a^2-x^2}=f(x)\\
\end{eqnarray}
命題12.の証明終わり
\(\displaystyle\sqrt{x^2\pm a^2}\)の原始関数
命題13.
\(\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2\pm a^2}\)の原始関数\(\displaystyle F(x)=\int f(x)\ dx\)は $$ F(x)=\frac{1}{2}\left\{x\sqrt{x^2\pm a^2}\pm a^2\log\left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|\right\} $$ である。命題13.の証明
積の微分法、合成関数の微分法を使います。
\begin{eqnarray}
F^\prime(x)&=&\left(\frac{1}{2}\left\{x\sqrt{x^2\pm a^2}\pm a^2\log\left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|\right\}\right)^\prime\\
&=&\frac{1}{2}\left( \sqrt{x^2\pm a^2}+x\cdot\frac{1}{2}(x^2\pm a^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot 2x+a^2\cdot\frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}\right)\\
&=&\frac{1}{2}\left( \sqrt{x^2\pm a^2}+\frac{x^2}{\sqrt{x^2\pm a^2}}\pm\frac{a^2}{\sqrt{x^2\pm a^2}}\right)\\
&=&\frac{1}{2}\left( \sqrt{x^2\pm a^2}+\frac{x^2\pm a^2}{\sqrt{x^2\pm a^2}}\right)\\
&=&\frac{1}{2}\left( \sqrt{x^2\pm a^2}+\sqrt{x^2\pm a^2}\right)\\
&=&\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{x^2\pm a^2}\\
&=&\sqrt{x^2\pm a^2}\\
\end{eqnarray}
を得るため、証明完了です。
命題13.の証明終わり
これ、覚えるんですか？
今回の話は「たしかに正しいけど、そんな原始関数は思いつきません。」となるのではないでしょうか。
勿論、ラマヌジャンのような天才はスッと思いつくのかもしれませんが、通常は難しいはずです。
そこで、「これ、覚えるんですか？」ということになるのではないかと思うのですが、結論から言うと、覚えてしまったほうが早いです。
実際に計算する上では、の話ですが。
これらの原始関数は置換積分やら部分積分やらを駆使することで導出することができます。
置換積分、部分積分については厳密な話を後の記事でします。
(※具体的に今回の原始関数をどのように導出するかという話は書かないかもしれません。
「書いてほしい！」という方は是非コメントで教えて下さい！)
皆様のコメントを下さい！
このブログを読んでいただいている方は、数学にご興味がある方だと思います。
皆様が一番最初に数学に興味を持ったきっかけは何ですか？
筆者は中学校のときの数学の先生の授業に感動したことが一番最初でした。
その後、高校へ入学して、「\(1+1=2\)は証明できる」ということを知り、「なんだと！？」と思い数学を志しました。
是非コメントで教えて下さい！
結
今回は初等関数の原始関数、特に多項式関数、有理関数、無理関数について解説しました。
これらの原始関数は公式として覚えてしまったほうが早いですが、置換積分やら部分積分やらを駆使することで導出することができます。
次回は今回の続きとして、三角関数、正割(\(\sec\))、余割(\(\csc\))、余接(\(\cot\))、双曲線関数(ハイパボリック)、指数関数、対数関数の原始関数を紹介、証明します。
乞うご期待！
質問、コメントなどお待ちしております！
どんな些細なことでも構いませんし、「定理〇〇の△△が分からない！」などいただければ全てお答えします！
お問い合わせの内容にもよりますが、ご質問はおおよそ３日以内にお答えします。
もし直ちに回答が欲しければその旨もコメントでお知らせください。直ちに対応いたします。
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