上に有界、上界、上限とは？

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1. 名前:shelly : 投稿日：2023/04/08(土) 09:53:29 ID：Q5Nzg5MDU

   大変わかりやすいです。ありがとうございます。
   １つよろしければ質問させてください。
   「上界には必ず最小値が存在する」
   「下界には必ず最大値が存在する」
   の証明はどのようなものなのでしょうか？

   返信
• 名前:オノコウスケ : 投稿日：2023/04/16(日) 14:07:31 ID：EwMDg1ODM

  shelly様

  コメントありがとうございます。
  また、大変鋭いご指摘、ありがとうございます。
  お答えいたします。

  >大変わかりやすいです。ありがとうございます。
  こちらこそ、ありがとうございます。大変励みになります。

  >「上界には必ず最小値が存在する」「下界には必ず最大値が存在する」の証明はどのようなものなのでしょうか？
  まず、ご質問の意図が「上限(および下限)は分かった。その性質として“上限は上界の最小値である(下限は下界の最大値である)”という性質も分かった。しかし、上限(下限)という概念を知らない立場において“上界(下界)の集合に最小値(最大値)が存在する”ということの証明はどうか。」というものでしたら、再度お問い合わせ下さい。
  今回のお問い合わせでは、「上限は上界の中で最小のものである」という主張を証明します(下限については上限と本質的に同じなので省略いたします)。
  結論から申し上げますと、以下のワイエルシュトラスの上限公理から従います。

  ワイエルシュトラスの上限公理

  \(A\subset\mathbb{R}\)、\(A\neq\emptyset\)、\(A\)は上に有界であるとする。このとき、\(A\)の上限\(\sup A\)が存在する。すなわち、上に有界かつ空でない\(\mathbb{R}\)の任意の部分集合は上限を持つ。

  (ワイエルシュトラスの上限公理の詳細は実数の連続性編 その6を御覧ください)

  確かに記事中では、例を使って

  空でない\(A\subset\mathbb{R}\)に対して、その上界の集合を\(U(A)\)とする。すなわち
  $$
  U(A)=\left\{M\in\mathbb{R}\middle|(\forall x\in A)\ x\leq M \right\}
  $$
  とするとき、\(U(A)\)には最小値が存在し、その最小値を\(A\)の上限(supremum of \(A\))と呼び、\(\sup A\)で表す。

  というような表現で上限(および下限)を説明致しました。
  しかし、上限(および下限)を定める際には「最小値(下限のときは最大値)」という言葉は使っておりません。
  何が言いたいかといえば、

  “上限”(および下限)なる概念を定めれば、それは結果的に上界の最小値(下界の最大値)と一致する。

  という立場で記事を書いているということです。
  本記事では、デデキントの定理(実数の連続性編 その2)とワイエルシュトラスの上限公理の同値性を証明していますので、ワイエルシュトラスの上限公理は「正しい」と断言できます。
  そこで、ここでは

  命題

  \(A\subset\mathbb{R}\)、\(A\neq\emptyset\)、\(A\)は上に有界であるとする。このとき、\(A\)の上限\(\sup A\)が存在し、\(\sup A\)は\(A\)の上界のうち最小のものと一致する。

  を証明します。
  証明

  1. 上限の存在

  これは、ワイエルシュトラスの上限公理そのものであり、ワイエルシュトラスの上限公理はデデキントの定理から従うため、割愛します。
  (※「デデキントの定理\(\Longrightarrow\)ワイエルシュトラスの上限公理」の証明は実数の連続性編 その5を御覧ください。

  2. 上限ならば、上界のなかで最小のもの

  背理法で証明します(上限が、上界の中で最小のものでないと仮定して矛盾を導きます)。
  空でない\(A\subset\mathbb{R}\)の上限\(\sup A\)を\(\alpha\)と書いたとします。
  すなわち、\(\alpha=\sup A\)とします。
  ここで、\(A\)の上限とは以下でした。

  上限

  \(A\subset\mathbb{R}\)、\(A\neq\emptyset\)、\(M\in\mathbb{R}\)とする。このとき、

  1. \(M\)は\(A\)の上界である。

  すなわち、次が成り立つ。
  $$
  (\forall x\in A)\ x\leq M
  $$

  2. \(M\)より小さい数は\(A\)の上界でない。

  すなわち、以下が成り立つ。
  $$
  (\forall \varepsilon>0)(\exists x\in A)\ {\rm s.t.}\ x>M-\varepsilon
  $$
  を満たすならば、\(M\)を\(A\)の上限(supremum of \(A\))といい、\(M=\sup A\)と書く。ただし、\(A\)が上に有界でないならば、\(\sup A=\infty\)と書く。

  さて、証明に戻ります。
  \(\alpha=\sup A\)ですから、\(\alpha\)は\(A\)の上界です。
  すなわち、
  $$
  (\forall x\in A)\ x\leq \alpha
  $$
  です。
  仮に、\(\alpha\)が上界の中で最小値でないとします。
  「そもそも、最小値とは何だったか？」というと以下でした。

  最小値

  \(A\subset\mathbb{R}\)とするとき、\(I\in\mathbb{R}\)が\(A\)の最小値であるとは

  1. \((\forall x\in A)\ x\geq I\)
  2. \(I\in A\)

  が成り立つことをいう。

  今回は、「\(\alpha\)は\(A\)の上界の集合\(U(A)\)の最小値でない。」という仮定ですので、上記の否定が成り立ってます。
  すなわち、

  \((\exists \alpha^\prime\in U(A))\ {\rm s.t.}\ \alpha^\prime<\alpha\)または\(\alpha\not\in U(A)\)

  が成り立っています。
  しかしながら、「\(\alpha\)は\(A\)の上界である」ということは仮定ですので、今回の場合は
  $$
  (\exists \alpha^\prime\in U(A))\ {\rm s.t.}\ \alpha^\prime<\alpha
  $$
  が成り立っているということになります
  とどのつまり、\(\alpha\)を\(A\)の上界の中で最小のものでないと仮定すれば、\(A\)の上界であり、かつ\(\alpha\)より小さい\(\alpha^\prime\in\mathbb{R}\)が存在するとわかる、ということです。
  まとめれば、

  1. \((\forall x\in A)\ x\leq\alpha^\prime\)
  2. \(\alpha^\prime<\alpha\)

  を同時に満たす\(\alpha^\prime\in\mathbb{R}\)が存在するということです。
  しかしながら、これは
  $$
  (\forall \varepsilon>0)(\exists x\in A)\ {\rm s.t.}\ x>\alpha-\varepsilon
  $$
  に反します。
  したがって、\(\alpha\)は上界の集合\(U(A)\)の最小値です。

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