「関数が極限を持つならば、制限した関数も同じ極限を持つ」「連続関数の制限も連続関数である」【解析学の基礎シリーズ】多変数関数編その19

本記事の内容
写像の”制限”って？
関数が極限を持つならば、制限した関数も同じ極限を持つ
なんでこの事実が必要なのかネ？
結

本記事の内容

本記事は「関数が極限を持つならば、制限した関数も同じ極限を持つ」、「連続関数の制限もまた連続関数である」ということを証明する記事です。

本記事を読むにあたり、多変数ベクトル値関数の極限について知っている必要があるため、その際は以下の記事を参照してください。

「多変数ベクトル値関数の収束」【解析学の基礎シリーズ】多変数関数編その2

...

まずは、写像、特に関数の制限について説明します。

写像の”制限”って？

写像の”制限”を一言で言えば、「定義域を狭めた写像」のことです。
「どういうことかネ？」となると思うので、例を挙げます。

例1.(料理を食べるときに使う食器との対応規則)
$X=\{カレー,\ ステーキ,\ おにぎり,\ チャーハン\}$、$Y=\{スプーン,\ ナイフ,\ 手,\ 足\}$として、$f:X\to Y$が

$f(カレー)=スプーン$、
$f(ステーキ)=ナイフ$、
$f(おにぎり)=手$、
$f(チャーハン)=スプーン$

で定められているとしましょう。
このとき、$X$の部分集合として$X^\prime=\{カレー,\ おにぎり,\ チャーハン\}$を考えます。
すなわち、$X^\prime$は$X$の中でご飯物を集めた集合です。
$X^\prime\subset X$ですので、当然ながら$X^\prime$の任意の要素に対して、$Y$の要素がただ1つ対応しています。
しかも、その対応規則は$f$と同じです。
つまり、

$f^\prime(カレー)=スプーン$、
$f^\prime(おにぎり)=手$、
$f^\prime(チャーハン)=スプーン$

で定められる$f^\prime:X^\prime \to Y$を考えることができます。

この$f^\prime$を$f$の$X^\prime$への制限と言います。

例2. $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$が $g(x)=\sin x$で定められているとします。
【論理と集合シリーズ】写像編その9で説明したとおり、この$g$は、というより$\sin$は全単射ではありません。
従って、逆写像は存在しません。
しかしながら、「定義域と終域を”絞る”ことで全単射が作れる」のでした。
つまり、定義域を$\mathbb{R}$から$\displaystyle\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$に、終域を$\mathbb{R}$から$[-1,1]$に”絞る”ことで全単射になるため、この場合には逆写像が存在するのでした。
新たにこの写像に$g^\prime:\displaystyle\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to[-1,1]$と名前を付けましょう。

実はこれは$g$の$\displaystyle\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$への制限だったのです。
この例は終域も絞っていますが、一般に、写像の制限は定義域を絞ることです。

以上のことを数学的に表すと次です。

写像の制限 写像$f:X\to Y$に対して、$A\subset X$とする。このとき、 $$ f^\prime:A\to Y,\quad (\forall x\in C)\ f^\prime(x)=f(x) $$ で定められる写像$f^\prime:A\to Y$を$f$の$A$への制限といい、$f|_{A}$で表す。
すなわち、$f|_A:A\to Y$は $$ (\forall x\in A)\quad f|_A(x)=f(x) $$ で定められる写像である。

では、定義域を制限した関数の極限について考えてみます。

関数が極限を持つならば、制限した関数も同じ極限を持つ

まずは主張を明示します。

命題3. 関数が極限を持つならば、制限した関数も同じ極限を持つ。
すなわち、 $\Omega^\prime\subset \Omega\subset \mathbb{R}^n$とし、$\Omega^\prime\neq \emptyset$とする。 $\boldsymbol{f}:\Omega\to\mathbb{R}^m$とするとき、$\boldsymbol{f}$の$\Omega^\prime$への制限$\boldsymbol{f}|_{\Omega^\prime}:\Omega^\prime\to \mathbb{R}^m$が$\boldsymbol{f}|_{\Omega^\prime}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$で定められる。このとき、$\boldsymbol{a}\in\bar{\Omega^\prime}$、$\boldsymbol{A}\in\mathbb{R}^m$、$\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{A}$であれば、 $$ \lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}\boldsymbol{f}|_{\Omega^\prime}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{A} $$ が成り立つ。

※ちょっとした注意※$\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}\boldsymbol{f}|_{\Omega^\prime}(\boldsymbol{x})$を$\displaystyle\lim_{\substack{\boldsymbol{x}\in \Omega^\prime\\ \boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$で表す場合もあります。

証明

誠に簡単です。
というより明らかと言いたいところです。
言いませんけどね(笑)

仮定から$\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{A}$ですので、
$$
(\forall \epsilon>0)\ (\exists \delta>0)\ {\rm s.t.}\ \left(\forall \boldsymbol{x}\in\Omega :0<|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}|<\delta\Rightarrow|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{A}|<\epsilon\right)
$$

今、$\Omega^\prime\subset \Omega$です。
部分集合とはどういうものだったかを思い出すと、
$$
\forall\boldsymbol{x}\in\Omega^\prime\Rightarrow \boldsymbol{x}\in \Omega
$$
です。
従って、$0<|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}|<\delta$を満たす任意の$\boldsymbol{x}\in\Omega^\prime$は、$|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{A}|<\epsilon$を満たしています。

これはまさに
$$
(\forall \epsilon>0)\ (\exists \delta>0)\ {\rm s.t.}\ \left(\forall \boldsymbol{x}\in\Omega^\prime :0<|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}|<\delta\Rightarrow|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{A}|<\epsilon\right)
$$
を表しているため、$\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}\boldsymbol{f}|_{\Omega^\prime}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{A}$です。

証明終わり

この命題3.の系として次が成り立ちます。

系4. 関数が定義域で連続ならば、制限した関数も制限した定義域で連続である。
すなわち、 $\Omega^\prime\subset \Omega\subset \mathbb{R}^n$とし、$\Omega^\prime\neq \emptyset$とする。 $\boldsymbol{f}:\Omega\to\mathbb{R}^m$とするとき、$\boldsymbol{f}$の$\Omega^\prime$への制限$\boldsymbol{f}|_{\Omega^\prime}:\Omega^\prime\to \mathbb{R}^m$が$\boldsymbol{f}|_{\Omega^\prime}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$で定められる。このとき、$\boldsymbol{a}\in\bar{\Omega^\prime}$であり、$\boldsymbol{f}$が$\Omega$で連続、すなわち、任意の$\boldsymbol{a}\in\Omega$に対して$\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a})$であれば、 $$ \lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}\boldsymbol{f}|_{\Omega^\prime}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a}) $$ が成り立つ。

この系4.の証明は命題3.の証明を$\boldsymbol{A}$を$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a})$に書き換えれば良いので省略します。

なんでこの事実が必要なのかネ？

命題3.を実際に証明してみると「簡単だし当然じゃね？」となりますし、「だから何？」という感じですが、なぜこの事実を記事化したかを話します。

正直、オチとしては「詳しくは次回以降話します」ということです。
多変数関数の場合、一見極限が存在しそうでも存在しない場合があります。
それは、極限への近づき方がありとあらゆる方向からと沢山あるからです。

より端的に言えば、

　 $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(a,b)}\boldsymbol{f}(x,y)=A$と、$\displaystyle\lim_{x\to a}\lim_{y\to b}\boldsymbol{f}(x,y)=A$、$\displaystyle\lim_{y\to b}\lim_{x\to a}\boldsymbol{f}(x,y)=A$は別物！

ということです。
これらを混同してしまいがちですが、違います。
このことを具体例と共に説明するためにこの事実を使うため、今回は制限の極限について話しました。

結

今回は関数が極限を持つならば、制限した関数も同じ極限を持つ」「連続関数の制限も連続関数である」ということを説明、証明しました。

要は、

　関数の一部を取ってきたとしても、極限も変わらなければ、連続性も変わらない。まさに一部をまるっと取ってきただけ。

ということです。

次回は関数の発散の一部について解説します。
※5/18追記 次回に多変数実数値関数の注意を書くことにします。

乞うご期待！質問、コメントなどお待ちしております！