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「関数が極限を持つならば、制限した関数も同じ極限を持つ」「連続関数の制限も連続関数である」【解析学の基礎シリーズ】多変数関数編 その19

写像

本記事の内容

本記事は「関数が極限を持つならば、制限した関数も同じ極限を持つ」、「連続関数の制限もまた連続関数である」ということを証明する記事です。

本記事を読むにあたり、多変数ベクトル値関数の極限について知っている必要があるため、その際は以下の記事を参照してください。

まずは、写像、特に関数の制限について説明します。

写像の”制限”って?

写像の”制限”を一言で言えば、「定義域を狭めた写像」のことです。
「どういうことかネ?」となると思うので、例を挙げます。

例1.(料理を食べるときに使う食器との対応規則)
\(X=\{カレー,\ ステーキ,\ おにぎり,\ チャーハン\}\)、\(Y=\{スプーン,\ ナイフ,\ 手,\ 足\}\)として、\(f:X\to Y\)が

  • \(f(カレー)=スプーン\)、
  • \(f(ステーキ)=ナイフ\)、
  • \(f(おにぎり)=手\)、
  • \(f(チャーハン)=スプーン\)

で定められているとしましょう。
このとき、\(X\)の部分集合として\(X^\prime=\{カレー,\ おにぎり,\ チャーハン\}\)を考えます。
すなわち、\(X^\prime\)は\(X\)の中でご飯物を集めた集合です。
\(X^\prime\subset X\)ですので、当然ながら\(X^\prime\)の任意の要素に対して、\(Y\)の要素がただ1つ対応しています。
しかも、その対応規則は\(f\)と同じです。
つまり、

  • \(f^\prime(カレー)=スプーン\)、
  • \(f^\prime(おにぎり)=手\)、
  • \(f^\prime(チャーハン)=スプーン\)

で定められる\(f^\prime:X^\prime \to Y\)を考えることができます。

この\(f^\prime\)を\(f\)の\(X^\prime\)への制限と言います。

例2. \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\)が \(g(x)=\sin x\)で定められているとします。
【論理と集合シリーズ】写像編 その9で説明したとおり、この\(g\)は、というより\(\sin\)は全単射ではありません。
従って、逆写像は存在しません。
しかしながら、「定義域と終域を”絞る”ことで全単射が作れる」のでした。
つまり、定義域を\(\mathbb{R}\)から\(\displaystyle\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\)に、終域を\(\mathbb{R}\)から\([-1,1]\)に”絞る”ことで全単射になるため、この場合には逆写像が存在するのでした。
新たにこの写像に\(g^\prime:\displaystyle\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to[-1,1]\)と名前を付けましょう。

実はこれは\(g\)の\(\displaystyle\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\)への制限だったのです。
この例は終域も絞っていますが、一般に、写像の制限は定義域を絞ることです。

以上のことを数学的に表すと次です。

写像の制限 写像\(f:X\to Y\)に対して、\(A\subset X\)とする。このとき、 $$ f^\prime:A\to Y,\quad (\forall x\in C)\ f^\prime(x)=f(x) $$ で定められる写像\(f^\prime:A\to Y\)を\(f\)の\(A\)への制限といい、\(f|_{A}\)で表す。
すなわち、\(f|_A:A\to Y\)は $$ (\forall x\in A)\quad f|_A(x)=f(x) $$ で定められる写像である。

では、定義域を制限した関数の極限について考えてみます。

関数が極限を持つならば、制限した関数も同じ極限を持つ

まずは主張を明示します。

命題3. 関数が極限を持つならば、制限した関数も同じ極限を持つ。
すなわち、 \(\Omega^\prime\subset \Omega\subset \mathbb{R}^n\)とし、\(\Omega^\prime\neq \emptyset\)とする。 \(\boldsymbol{f}:\Omega\to\mathbb{R}^m\)とするとき、\(\boldsymbol{f}\)の\(\Omega^\prime\)への制限\(\boldsymbol{f}|_{\Omega^\prime}:\Omega^\prime\to \mathbb{R}^m\)が\(\boldsymbol{f}|_{\Omega^\prime}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\)で定められる。 このとき、\(\boldsymbol{a}\in\bar{\Omega^\prime}\)、\(\boldsymbol{A}\in\mathbb{R}^m\)、\(\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{A}\)であれば、 $$ \lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}\boldsymbol{f}|_{\Omega^\prime}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{A} $$ が成り立つ。

※ちょっとした注意※\(\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}\boldsymbol{f}|_{\Omega^\prime}(\boldsymbol{x})\)を\(\displaystyle\lim_{\substack{\boldsymbol{x}\in \Omega^\prime\\ \boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\)で表す場合もあります。

証明

誠に簡単です。
というより明らかと言いたいところです。
言いませんけどね(笑)

仮定から\(\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{A}\)ですので、
$$
(\forall \epsilon>0)\ (\exists \delta>0)\ {\rm s.t.}\ \left(\forall \boldsymbol{x}\in\Omega :0<|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}|<\delta\Rightarrow|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{A}|<\epsilon\right)
$$

今、\(\Omega^\prime\subset \Omega\)です。
部分集合とはどういうものだったかを思い出すと、
$$
\forall\boldsymbol{x}\in\Omega^\prime\Rightarrow \boldsymbol{x}\in \Omega
$$
です。
従って、\(0<|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}|<\delta\)を満たす任意の\(\boldsymbol{x}\in\Omega^\prime\)は、\(|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{A}|<\epsilon\)を満たしています。

これはまさに
$$
(\forall \epsilon>0)\ (\exists \delta>0)\ {\rm s.t.}\ \left(\forall \boldsymbol{x}\in\Omega^\prime :0<|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}|<\delta\Rightarrow|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{A}|<\epsilon\right)
$$
を表しているため、\(\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}\boldsymbol{f}|_{\Omega^\prime}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{A}\)です。

証明終わり

この命題3.の系として次が成り立ちます。

系4. 関数が定義域で連続ならば、制限した関数も制限した定義域で連続である。
すなわち、 \(\Omega^\prime\subset \Omega\subset \mathbb{R}^n\)とし、\(\Omega^\prime\neq \emptyset\)とする。 \(\boldsymbol{f}:\Omega\to\mathbb{R}^m\)とするとき、\(\boldsymbol{f}\)の\(\Omega^\prime\)への制限\(\boldsymbol{f}|_{\Omega^\prime}:\Omega^\prime\to \mathbb{R}^m\)が\(\boldsymbol{f}|_{\Omega^\prime}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\)で定められる。 このとき、\(\boldsymbol{a}\in\bar{\Omega^\prime}\)であり、\(\boldsymbol{f}\)が\(\Omega\)で連続、すなわち、任意の\(\boldsymbol{a}\in\Omega\)に対して\(\displaystyle\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a})\)であれば、 $$ \lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}\boldsymbol{f}|_{\Omega^\prime}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a}) $$ が成り立つ。

この系4.の証明は命題3.の証明を\(\boldsymbol{A}\)を\(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a})\)に書き換えれば良いので省略します。

なんでこの事実が必要なのかネ?

命題3.を実際に証明してみると「簡単だし当然じゃね?」となりますし、「だから何?」という感じですが、なぜこの事実を記事化したかを話します。

正直、オチとしては「詳しくは次回以降話します」ということです。
多変数関数の場合、一見極限が存在しそうでも存在しない場合があります。
それは、極限への近づき方がありとあらゆる方向からと沢山あるからです。

より端的に言えば、

  \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(a,b)}\boldsymbol{f}(x,y)=A\)と、\(\displaystyle\lim_{x\to a}\lim_{y\to b}\boldsymbol{f}(x,y)=A\)、\(\displaystyle\lim_{y\to b}\lim_{x\to a}\boldsymbol{f}(x,y)=A\)は別物!

ということです。
これらを混同してしまいがちですが、違います。
このことを具体例と共に説明するためにこの事実を使うため、今回は制限の極限について話しました。

今回は関数が極限を持つならば、制限した関数も同じ極限を持つ」「連続関数の制限も連続関数である」ということを説明、証明しました。

要は、

  関数の一部を取ってきたとしても、極限も変わらなければ、連続性も変わらない。 まさに一部をまるっと取ってきただけ。

ということです。

次回は関数の発散の一部について解説します。
※5/18追記 次回に多変数実数値関数の注意を書くことにします。

乞うご期待!質問、コメントなどお待ちしております!

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