「全射って？」【論理と集合シリーズ】写像編 その7

本記事の内容

本記事は「全射って何？」ということについて解説する記事である。

本記事を読むに当たり、「写像？」となっている方は以下の記事も合わせて御覧ください。

「写像って数学的に何？」「結局、関数と同じでは？」【論理と集合シリーズ】写像編 その３

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for-spring.com

2022.03.22

単射を知っていたほうが理解が進むと思われるので、その場合は以下の記事を参照してください。

「単射って？」【論理と集合シリーズ】写像編 その6

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for-spring.com

2022.03.25

全射

単射は「定義域の異なる要素は、対応する終域の要素も異なるような写像のこと。」だった。
単射の場合、終域の要素は全て使われていなくても良い(終域の要素に対応しない定義域の要素があっても良い)。
これに対して全射は「終域の要素が全て使われている写像」である。

例1′.(料理を食べるときに使う食器との対応規則の改変ver.)
$X’=\{カレー,ステーキ、おにぎり\}$、$Y’=\{スプーン,ナイフ,手,足\}$とする。
このとき、写像$h_0:X\to Y$を

1. $h_0(カレー)=スプーン$、
2. $h_0(ステーキ)=ナイフ$、
3. $h_0(おにぎり)=手$

で定める。
このとき、$Y$の要素であるスプーン、ナイフ、手にはそれぞれと対応するカレー、ステーキ、おにぎりという$X$の要素が存在する。
しかし、足$\in Y$と対応する$X$の要素は存在しない。
つまり、終域の要素が全て使われているわけではない(使われていない終域の要素が存在する)。
従って、この写像は全射ではない。
同様に例1.も全射ではない。

例2.(数学っぽい例)
$X=\{1,2,3\}$、$Y=\{1,4,9\}$とする。
写像$g:X\to Y$を

1. $g(1)=1$、
2. $g(2)=4$、
3. $g(3)=9$。

で定める。
このとき、終域$Y$の要素$1,4,9$には全て、それぞれに対応する定義域$X$の要素が存在する。
つまり、終域のすべての要素が使われている。
従って、$g:X\to Y$は全射である。

例3′.(実数値の関数のちょっと改変ver.)
$X=Y=\{x\in\mathbb{R}\mid x\geq0\}$とする。
このとき、写像$f_0:X\to Y$を$f_0(x)=x^2$で定める。
この$f_0$は全射である。
実際、任意の$y\in Y$に対して、$\pm\sqrt{y}\in X$が存在するからである。
ここで、この$f_0$は単射でもある。
なぜなら、任意の$x_1,x_2\in X$に対して、$x_1\neq x_2$ならば、$f_0(x_1)=x_1^2$であり、$f_0(x_2)=x_2^2$であるので、$f_0(x_1)\neq f_0(x_2)$であるからである。

一方、$X=Y=\mathbb{R}$とした例3.は全射ではない。
というのも、負の実数$y\in Y=\mathbb{R}$が対応する$x\in X=\mathbb{R}$が存在しないからである。

これを論理式で書けば、次である。

ここで１つ事実を述べる。

この証明はさほど難しくないので、是非挑戦してみてほしい。

(証明)
$f:X\to Y$を写像とする。
このとき、「$f:X\to Y$が全射$\Rightarrow f(X)=Y$」かつ「$f(X)=Y\Rightarrow f:X\to Y$が全射」が真であることを示せば良い。

①「$f:X\to Y$が全射$\Rightarrow f(X)=Y$」の証明
写像$f$が全射であるとする。
すなわち、
$$(\forall y\in Y)(\exists x\in X)\ {\rm s.t.}\ y=f(x)$$
が成り立っているとする。
このとき、

1. $f(X)\subset Y$,
2. $f(X)\supset Y$

を示せば良い(※集合が等しいとはこういうことだった！論理と集合シリーズ その5を参照)。

1. $f(X)\subset Y$について
   $$(\forall y\in f(X)\Rightarrow y\in Y)$$
   を示せば良い（※部分集合とはこういうことだった！論理と集合シリーズ その5参照）。
   $f(X)$は$f$の値域であるので、
   $$f(X)=\{f(x)\in Y\mid x\in X\}$$
   である(写像って？を参照)。
   任意の$y\in f(X)$に対して、$f(X)=\{f(x)\in Y\mid x\in X\}$なのだから、$y=f(x)$と書ける。
   $f(x)$は$x\in X$と対応する$Y$の要素を指すのだから、$f(x)\in Y$である。
   すなわち、$y\in Y$である。
   ※この1.は、$f$が全射でなくとも、写像であれば常に成り立つ。
2. $f(X)\supset Y$について
   $$(\forall y\in Y\Rightarrow y\in f(X))$$
   を示せば良い。
   $f$が全射であるため、
   $$(\forall y\in Y)(\exists x\in X)\ {\rm s.t.}\ y=f(x)$$
   が成り立っている。
   すなわち任意の$y\in Y$に対して、$y=f(x)$を満たす$x\in X$を見つけてこれる。
   $f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}$なのだから、$f(x)\in f(X)$である。
   従って、$y\in f(X)$である。
   故に、$f:X\to Y$が全射$\Rightarrow f(X)=Y$である。

②「$f(X)=Y\Rightarrow f:X\to Y$が全射」の証明
$f(X)=Y$とする。
このとき
$$(\forall y\in Y)(\exists x\in X)\ {\rm s.t.}\ y=f(x)$$
を示せば良い。
すなわち、上記を満たすような$x\in X$を見つけてきなさい、ということである。
今、$f(X)=Y$なのだから、任意の$y\in Y$に対して、$y\in f(X)$である($f(X)\subset Y$かつ$f(X)\supset Y$だから)。
従って、ある$x_0\in X$が存在して、$y=f(x_0)$である。
$x$として先程見つけた$x_0$を採用すれば、任意の$y\in Y$に対して、ある$x\in X$が存在して、$y=f(x)$を満たす。
従って、
$$(\forall y\in Y)(\exists x\in X)\ {\rm s.t.}\ y=f(x)$$
が成り立つ。
故に「$f(X)=Y\Rightarrow f:X\to Y$が全射」が成り立つ。

以上により、
$$f:X\to Yが全射\Leftrightarrow f(X)=Y$$
である。
(Q.E.D.)

この命題により、「写像$f:X\to Y$が全射と言われたらば、$f(X)=Y$のことだ！」と思って良いわけである。
$f(X)$は任意の$x\in X$に対してその$x$と対応する$Y$の要素の集合なのだから、$f(X)=Y$ということは、$Y$の要素が全部使われているということなのである。

結

今回は全射について解説した。

全射は終域のすべての要素が使われている(終域のすべての要素に対応がある)ような写像である。
また、全射であることと、終域が定義域の順像と一致していることは同値である。
従って、「全射とは終域が定義域の順像と一致している写像のこと」と思ってもらって構わない。

次回は、「全単射」について解説する。
全単射は逆写像(逆関数)を語る上で必要不可欠な概念である。

乞うご期待！質問、コメントなどお待ちしております！