「積分の区間に関する加法性」【解析学の基礎シリーズ】積分編 その9

本記事の内容

本記事は、積分の区間に関する加法性について解説する記事です。

本記事を読むにあたり、ダルブーの定理について知っている必要があるため、以下の記事も合わせてご覧ください。

「ダルブーの定理を証明しよう！」【解析学の基礎シリーズ】積分編 その3

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2022.08.12

積分の区間に関する加法性って？

内容自体は大したことはありません。
1次元の場合は高校数学で出てきています。

要するに、今回は
$$\int_a^b f(x)\ dx=\int_a^c f(x)\ dx+\int_c^b f(x)\ dx$$
が1次元だけでなく$n$次元でも成り立つ、ということを解説します。

主張の明示とその証明

$I$が$\mathbb{R}$の区間であって、$I=I_1\cup I_2$、$I_1\cap I_2=\{c\}$であったときにはまさに先程の
$$\int_a^b f(x)\ dx=\int_a^c f(x)\ dx+\int_c^b f(x)\ dx$$
を指しています。

定理1.の証明

今、$\Delta$の細分である分割$D$によって、$\Delta$の小区間$I_k\ (k\in K(\Delta))$の分割$D_k$が得られたとすると、$D$に関する$f$の$I$上の不足和$s_D=s_D(f,I)$に対して、
$$s_D(f,I)=\sum_{k\in K(\Delta)}s_{D_k}(f,I_k)$$
が成り立ちます。
ここで、$d(D)\to0$とすると、全ての$k\in K(\Delta)$に対して、$d(D_k)\to0$でもあります。

ここで、ダルブーの定理を使います。

定理2.(ダルブーの定理)の証明は【解析学の基礎シリーズ】積分編 その3を御覧ください。

定理2.(ダルブーの定理)から、下積分について
$$\underline{\int_I}f(\boldsymbol{x})\ d\boldsymbol{x}=\sum_{k\in K(\Delta)}\underline{\int_{I_k}}f(\boldsymbol{x})\ d\boldsymbol{x}\cdots②$$
が成り立ちます。

同様にして上積分についても
$$\overline{\int_I}f(\boldsymbol{x})\ d\boldsymbol{x}=\sum_{k\in K(\Delta)}\overline{\int_{I_k}}f(\boldsymbol{x})\ d\boldsymbol{x}\cdots③$$
が成り立ちます。

ここで、以下の可積分条件を使います。

定理0.の証明は【解析学の基礎シリーズ】積分編 その4および【解析学の基礎シリーズ】積分編 その5を御覧ください。

今、$f$が$I$上で可積分だから、定理0.の4.が成り立ち、
$$\underline{\int_I}f(\boldsymbol{x})\ d\boldsymbol{x}=\overline{\int_I}f(\boldsymbol{x})\ d\boldsymbol{x}$$
です。

一方で、任意の$k\in K(\Delta)$に対して
$$\underline{\int_{I_k}}f(\boldsymbol{x})\ d\boldsymbol{x}\leq\overline{\int_{I_k}}f(\boldsymbol{x})\ d\boldsymbol{x}$$
が成り立っているので、この不等号は全て等号でなければなりません。
そこで、$f$は各$I_k\ (k\in K(\Delta))$上で可積分で①が成り立ちます。

逆に、$f$が各$I_k$で可積分ならば、任意の$k\in K(\Delta)$に対して、
$$\underline{\int_{I_k}}f(\boldsymbol{x})\ d\boldsymbol{x}=\overline{\int_{I_k}}f(\boldsymbol{x})\ d\boldsymbol{x}$$
が成り立つから、②と③により
$$\underline{\int_{I}}f(\boldsymbol{x})\ d\boldsymbol{x}=\overline{\int_{I}}f(\boldsymbol{x})\ d\boldsymbol{x}$$
となり、$f$は$I$上で可積分です。

定理1.の証明終わり

積分の区間に関する加法性の系

定理1.の系を1つ解説します。

直感的には「当たり前でしょ」ということです。

一言でいうと、

という主張です。

系3.の証明

簡単です。

ある$k\in K(\Delta)$に対して、$I_k=J$となるような$I$の分割$\Delta$を1つ取ります。
この分割に対して定理1.を適用させればOKです。

系3.の証明終わり

定理1.を確かめてみます。

例4. $I=[0,2]$、$f:I\to\mathbb{R}$を$f(x)=x$で定めます。
これは以前に証明したように$f$は$I$上で可積分で、
$$\int_If(x)\ dx=\int_0^2x\ dx=\left[ \frac{1}{2}x^2\right]_0^2=\frac{1}{2}(4-0)=2$$
です。

ここで、$I=[0,1]\cup[1,2]$として、各区間について積分を計算してみます。

$$\begin{eqnarray} &&\int_0^1x\ dx=\left[ \frac{1}{2}x^2\right]_0^1=\frac{1}{2}(1-0)=\frac{1}{2}\\ &&\int_1^2x\ dx=\left[ \frac{1}{2}x^2\right]_1^2=\frac{1}{2}(4-1)=\frac{3}{2} \end{eqnarray}$$
となるので、
$$\int_0^1x\ dx+\int_1^2x\ dx=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2$$
となり、確かに一致します。

皆様のコメントを下さい！

数学ばかりやっていると、頭が混乱することはありませんか？
数学だけに限らず、息抜きというものは必要だと思います。

筆者は博士後期課程に進学していますが、そこで得た数学者と数学をやっている人の特徴を紹介します(勿論、筆者の周りではという話ですが)。

数学者の方は、よくコーヒーを飲む印象があります。
さらに、そのコーヒーの量がえらく多いです。
「胃が痛くならないのかな？」と思うくらいです。
筆者はコーヒーよりも紅茶派なので、コーヒーはあまり飲みませんが。

さらに、お酒の量も尋常じゃありません。
めちゃめちゃ飲みます。
数学をやっている方全員じゃないにしろ、趣味が「お酒を嗜むこと」という方は多い印象があります。

皆様は数学をやっている人にどういう印象がありますか？
コメントで教えて下さい！

結

今回は、積分の区間に関する加法性について解説しました。
既に高校数学で学んでいたことが$n$次元でも成り立つよ、ということを解説しました。

次回はベクトル値関数の積分を解説します。

乞うご期待！
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