区間縮小法のイメージをつかもう！

本記事の内容

本記事は「区間縮小法ってどんなイメージ？」ということを伝える記事です。

具体的な証明は次回に解説します。

↓区間縮小法の証明の記事

区間縮小法(区間縮小の原理)の証明

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2022.03.10

区間縮小法(区間縮小の原理)の直感的なイメージ

一言で述べてしまえば、

ということです。
ここで閉区間というのは、任意の\(a\leq b\)なる実数\(a,b\)に対して、\([a,b]=\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x\leq b\}\)という集合のことです。
ただし、\(a=b\)の場合、\([a,b]=[a,a]=[b,b]=\{a\}=\{b\}\)であるとします。

さらに言い換えるならば「だんだん小さくなっていく有界な閉区間の無限個の共通部分は1点のみからなる集合だ」ということです。
小さくなっていく閉区間であれば、実数の数直線上のどの部分の閉区間でも成り立つということなのだから、まさに、「実数の数直線上に”すき間”が無い」ということなのです。

要は、「だんだん小さくなる集合(集合の内側にどんどん含まれる集合)の共通部分を取りまくったら1点が残るよね」ということなのです。
“区間”を”縮小”していく方”法”でということで、読んで字の如しというわけです。

直感的な例を述べましょう。

例1.
\(A_1=\{1,2,3,4,5\}\)、\(A_2=\{2,3,4\}\)、\(A_3=\{3\}\)としたとき、\(A_1\cap A_2\cap A_3=\{3\}\)です。

例2.
\(A_1=\{1,2,3,4,5\}\)、\(A_2=\{2,3,4,5\}\)、\(A_3=\{3,4,5\}\)、\(A_4=\{4,5\}\)、\(A_5=\{5\}\)としたとき、\(A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4\cap A_5=\displaystyle \bigcap_{n=1}^5A_n=\{5\}\)です。

ちなみに、
$$A_1\cap A_2\cap A_3\cap\dots =\bigcap_{n\in\mathbb{N}}A_n=\bigcap_{n=1}^\infty A_n$$
と書いたりもします。
高校数学で学んだ和の記号\(\sum\)と同じノリです。

例1.および例2.のようなことが自然数の集合だけでなく実数の集合で、しかも無限個の共通部分に対しても成り立つと言っているのが区間縮小法なのです。

結

今回は区間縮小法の直感的なイメージを説明しました。

要は、どんどん小さくなる区間の共通部分には必ず1点があるよ、ということです。
これがどんな縮小する区間でも成り立つのだから、区間縮小法は「実数の数直線上には一切”すき間”が無い。」に対応します。

次回は区間縮小法の証明を「有界な単調列が収束する。」という命題から証明します。

乞うご期待！質問、コメントなどお待ちしております！