「初等関数の微分法①($ax^n,\ a^x,\ \log_ax$の微分)」【解析学の基礎シリーズ】1変数実数値関数の微分編 その5

本記事の内容

本記事は初等関数の微分、特に多項式関数、指数関数、対数関数の微分について解説し、証明します。

本記事を読むにあたり、微分係数について知っている必要があるため、その際は以下の記事を参照してください。

「微分可能って？」「微分係数って？」【解析学の基礎シリーズ】1変数実数値関数の微分編 その1

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2022.05.23

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最も基本的な関数の微分として、$f(x)=ax^n$の微分が挙げられると思います。
$n\in\mathbb{Q}$の場合は、多少の予備知識が必要ですが、おおよそ基本的な難易度で証明が可能です。
しかし、$n\in\mathbb{R}$の場合は対数関数の微分の知識が必要になってきます。
従って、$f(x)=ax^n$は一筋縄では行きません。

少々カッコよく言えば、$f(x)=ax^n$の微分は基本にして応用だ、ということです(あまり意味がある言葉では有りませんのでスルーしてください)。

地図としては

です。
長丁場ですが、頑張っていきましょう！

必要な予備知識

まずは、必要な予備知識を説明します。
その中で最も基本的な概念がネイピア数$e$です。

ネイピア数

定理1.の証明

数列ですので、示したいことは
$$(\forall \epsilon>0)\ (\exists N\in\mathbb{N})\ {\rm s.t.}\ (\forall n\in\mathbb{N}:n\geq N\Rightarrow |a_n-A|<\epsilon)$$
ですが、「$A$ってなんだよ？」という話です。
地道に証明することも、もしかしたらできるのかもしれませんが、$A$の正体がわからない以上、あまりいい手法ではなさそうです。

従って、以下の事実を使います。

これは既に証明しています。
詳しくは【解析学の基礎シリーズ】実数の連続性編 その9を御覧ください。

さて、つまりは、$a_n$が有界かつ単調であることが言えれば良いわけです。
実際、$a_n$は単調増加数列です。

補題3.の証明

示したいことは、
$$\left(1+\frac{1}{n+1} \right)^{n+1}\geq\left(1+\frac{1}{n} \right)^{n}$$
です。
相加相乗平均を使えば、なんとも簡単に証明ができます。

相加相乗平均において、$\displaystyle a_1=a_2=\cdot=a_n=\frac{n+1}{n}$、$a_{n+1}=1$とします。
すると、
$$\frac{\frac{n+1}{n}\cdot n+1}{n+1}\geq \sqrt[n+1]{\left( \frac{n+1}{n}\right)^n}$$
が成り立ちます。
故に、
$$\left(1+\frac{1}{n+1} \right)^{n+1}\geq\left(1+\frac{1}{n} \right)^{n}$$
です。

補題3.の証明終わり

次に有界性について示します。

補題4.の証明

二項定理から直ちに分かります。

二項定理により、
$$\begin{eqnarray} a_n&=&\left(1+\frac{1}{n} \right)^{n}\\ &=&\sum_{k=0}^n{}_nC_k\frac{1}{n^k}\\ &=&\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}\cdot 1\cdot \left( 1-\frac{1}{n}\right)\cdot \left( 1-\frac{2}{n}\right)\cdots \cdot \left( 1-\frac{k-1}{n}\right)\\ &\leq &\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}\\ &\leq &1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdot\\ &\leq&1+\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=3 \end{eqnarray}$$
故に有界です。

補題4.の証明終わり

従って、補題3.および補題4.から$a_n$が収束します。

定理1.の証明おわり

さて、$\displaystyle\left(1+\frac{1}{n} \right)^{n}$が収束するので、その収束先を$e$と書いてネイピア数と呼びます。

$e^x$および$\log x$に関わる極限

次の2つの極限が必要なので、それについて解説します。

補題6.の証明(というか計算)

一瞬です。
$$\lim_{x\to0}\frac{\log(1+x)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\log(1+x)=\lim_{x\to0}\log(1+x)^{\frac{1}{x}}=\log e=1$$
ただし、$(1+x)^\frac{1}{x}$は$x>0$で連続であるという事実から、$\displaystyle\lim_{x\to0}\log(1+x)^{\frac{1}{x}}=\log e$が成り立ちます。

補題6.の証明(というか計算)終わり

補題7.の証明(というか計算)

これも一瞬です。
$t=e^x-1$とすると、$e^x=t+1$ですので、$x=\log(t+1)$です。
また、$x\to0$のとき、$t\to 0$です。
故に、
$$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=\lim_{t\to0}\frac{t}{\log(t+1)}=\lim_{t\to0}\frac{1}{\log(t+1)^\frac{1}{t}}=1$$
です。
これも補題6.と同様に$(1+x)^\frac{1}{x}$は$x>0$で連続であるという事実から、$\displaystyle\lim_{x\to0}\log(1+x)^{\frac{1}{x}}=\log e$です。

補題7.の証明(というか計算)おわり

さて、いよいよ指数関数の微分について話します。

指数関数の微分

主張を明示してしまいましょう。

定理8.の証明

真面目に証明してみましょう。
$$\begin{eqnarray} \left( a^x\right)^\prime&=&\lim_{h\to0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}\\ &=&\lim_{h\to0}\frac{a^x(a^h-1)}{h}\\ &=&a^x\cdot\lim_{h\to0}\frac{a^h-1}{h}\\ \end{eqnarray}$$
ここで、$a^h=e^{\log a^h}$です(両辺の対数を取ってみれば簡単に分かります)。
故に、収束する関数の積の極限は極限の積と等しい(【解析学の基礎シリーズ】関数の極限編 その3)ので、
$$\begin{eqnarray} a^x\cdot\lim_{h\to0}\frac{a^h-1}{h}&=&a^x\cdot\lim_{h\to0}\left(\frac{e^{\log a^h}-1}{\log a^h}\cdot \frac{\log a^h}{h}\right)\\ &=&a^x\cdot\lim_{h\to0}\frac{e^{\log a^h}-1}{\log a^h}\cdot \lim_{h\to0}\frac{\log a^h}{h}\\ &=&a^x\cdot\lim_{h\to0}\frac{e^{\log a^h}-1}{\log a^h}\cdot \lim_{h\to0}\log a\\ &=&a^x\cdot\lim_{h\to0}\frac{e^{\log a^h}-1}{\log a^h}\cdot \log a\\ \end{eqnarray}$$
です。
従って、
$$\lim_{h\to0}\frac{e^{\log a^h}-1}{\log a^h}=1$$
であれば良いです。
実はこれはほぼ証明が完了しています。
というのも補題7.を証明しているからです。
ここで、$t=\log a^h$とします。
$h\to 0$のとき、$t\to 0$です。
故に、
$$\begin{eqnarray} a^x\cdot\lim_{h\to0}\frac{e^{\log a^h}-1}{\log a^h}\cdot \log a&=&a^x\cdot\lim_{t\to0}\frac{e^{t}-1}{t}\cdot \log a=a^x\log a \end{eqnarray}$$
です。

特に$a=e$(ネイピア数)であれば、$\log e=1$により、$\left( e^x\right)^\prime=e^x$です。

定理8.の証明終わり

では、次に対数関数の微分について解説します。

対数関数の微分

主張を明示してしまいましょう。

定理8.の証明

真数条件から$x>0$ということに注意します。
※高校数学では真数条件と言っていましたが、一般に$\log$の定義域が$(0,\infty)$です。
$$\begin{eqnarray} \left( \log_ax\right)^\prime&=&\lim_{h\to0}\frac{\log_a(x+h)-\log_ax}{h}\\ &=&\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\log_a\frac{x+h}{x}\\ &=&\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\log_a\left(1+\frac{h}{x}\right)\\ &=&\lim_{h\to0}\log_a\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}\\ \end{eqnarray}$$
ここで、$\displaystyle t=\frac{h}{x}$とすれば、$h\to0$で$t\to0$です。
また、$\displaystyle\frac{1}{tx}=\frac{1}{h}$です。

従って、
$$\begin{eqnarray} \lim_{h\to0}\log_a\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}&=&\lim_{t\to0}\log_a(1+t)^\frac{1}{tx}\\ &=&\frac{1}{x}\cdot\lim_{t\to0}\log_a(1+t)^\frac{1}{t}\\ &=&\frac{1}{x}\cdot\log_ae\\ &=&\frac{1}{x}\cdot\frac{\log e}{\log a}=\frac{1}{x\log a} \end{eqnarray}$$
です。
ここでも、$(1+x)^\frac{1}{x}$は$x>0$で連続であるという事実から、$\displaystyle\lim_{x\to0}\log(1+x)^{\frac{1}{x}}=\log e$です。
また、対数関数の底の変換公式(定理)も使っています。

特に、$a=e$であれば、$\log a=\log e=1$ですので、$\displaystyle\left( \log x\right)^\prime=\frac{1}{x}$です。

定理8.の証明終わり

では最後に、$f(x)=ax^n$の微分を説明します。

$f(x)=ax^n$の微分

本来、最も基本的な関数の微分として、$f(x)=ax^n$の微分が挙げられると思います。
しかしながら、実はしっかり考えようとすると、そうも行きません。

$n\in\mathbb{Q}$の場合は、おおよそ基本的な難易度で証明が可能です。
しかし、$n\in\mathbb{R}$の場合は対数関数の微分の知識が必要になってきます。
従って、$f(x)=ax^n$は一筋縄では行きません。
故に、本記事では$f(x)=ax^n$の微分を最後に持ってきました。

結論から先に述べてしまいましょう。

定理9.の証明

複数の段階に分けて証明します。

0. $n=0$のとき

$n=0$ならば、$ax^n=a$です。
故に、
$$\lim_{h\to0}\frac{a-a}{h}=0$$
です。
また、$anx^{n-1}=a\cdot 0\cdot x^0=0$ですので、$n=0$のときは成り立ちます。

①$n\in\mathbb{N}$のとき

この証明の方法はいくつかあります。
特に二項定理を使った証明(よく見る方法)がよく見られると思います。
一方で、積の微分法を用いて数学的帰納法で示す方法もあります。
二項定理を用いた証明はいくらでも見つかるので、今回は後者で示します。

①-1. $n=1$のとき
$x^n=x$です。
このとき、
$$\lim_{h\to0}\frac{x+h-x}{h}=\lim_{h\to0}\frac{x+h-x}{h}=\cdot\lim_{h\to0}1=1=x^{1-1}$$
により、$n=1$のときは成り立ちます。

①-2. $n=k$まで成り立っているとします。
すなわち、$\left( x^k\right)^\prime=kx^{k-1}$が成り立っているとします。
このとき、積の微分法を使います。

詳しくは【解析学の基礎シリーズ】1変数実数値関数の微分編 その2を御覧ください。

により、
$$\begin{eqnarray} \left( ax^{k+1}\right)^\prime&=&\left( x^k\cdot x\right)^\prime\\ &=& \left( x^k\right)^\prime\cdot x+x^k\cdot 1\\ &=&kx^{k-1}\cdot x+x^k\\ &=&(k+1)x^{k}\\ &=&(k+1)x^{k+1-1} \end{eqnarray}$$

以上から、$n\in\mathbb{N}$のときには成り立ちます。

②$n\in\mathbb{Z}$、特に$n$が負の整数のとき

$n\in\mathbb{Z}$で$n=0$であれば、0.の場合で、$n>0$であれば、①の場合です。
従って、ここでは$n<0$を満たす$n\in\mathbb{Z}$の場合を考えます。

とはいえ、①の場合に商の微分法を適用させるだけです。
商の微分法は、

でした。
詳しくは、【解析学の基礎シリーズ】1変数実数値関数の微分編 その2を御覧ください。

さて、$n$は負の整数なので、$n$は$m\in\mathbb{N}$を用いて、$n=-m$と書けます。
従って、$\displaystyle x^n=x^{-m}=\frac{1}{x^m}$と書けます。
故に、商の微分法を使うことで、
$$\begin{eqnarray} \left(\frac{1}{x^m}\right)^\prime&=&\frac{0\cdot x^m-mx^{m-1}}{\left(x^m\right)^2}\\ &=&\frac{-mx^{m-1}}{x^{2m}}\\ &=&-mx^{m-1}\cdot x^{-2m}\\ &=&-mx^{m-1-2m}\\ &=&-mx^{-m-1}\\ \end{eqnarray}$$
ここで、$n=-m$でしたので、$-mx^{-m-1}=-(-n)\cdot x^{-(-n)-1}=nx^{n-1}$となり、$n\in\mathbb{Z}$のときも成り立ちます。

③$n\in\mathbb{Q}$のとき、特に$n$が分数のとき

$n\in\mathbb{Q}$は$p\in\mathbb{N}$、$q\in\mathbb{Z}$を用いて$\displaystyle n=\frac{q}{p}$と書けます。
まずは、$\displaystyle\left( x^\frac{1}{p}\right)^\prime$について考えます。
これは逆関数の微分を用いて証明できます。

詳しくは、【解析学の基礎シリーズ】1変数実数値関数の微分編 その4を御覧ください。
$y=x^\frac{1}{p}$は$y=x^p$の逆関数です。
従って、$p\in\mathbb{N}$ですので、$y=x^\frac{1}{p}$と書くと、
$$\begin{eqnarray} \left(x^\frac{1}{p}\right)^\prime=\frac{1}{py^{p-1}}=\frac{1}{px^{\frac{p-1}{p}}}=\frac{1}{p}x^{-\frac{p-1}{p}}=\frac{1}{p}x^{\frac{1}{p}-1} \end{eqnarray}$$
となります。
従って、$\displaystyle n=\frac{1}{p}$であれば、成り立ちます。
では、$x^\frac{q}{p}$について考えます。
これは合成関数の微分法を使うことで証明できます。

詳しくは【解析学の基礎シリーズ】１変数実数値関数の微分編 その3を御覧ください。

$x^\frac{q}{p}$は$x^q$と$x^\frac{1}{p}$の合成関数です。
従って、
$$\left(x^\frac{q}{p}\right)^\prime=\left(\left(x^\frac{1}{p}\right)^q\right)^\prime=q\left(x^\frac{1}{p}\right)^{q-1}\cdot \frac{1}{p}x^{\frac{1}{p}-1}=\frac{q}{p}x^{\frac{q-1}{p}+\frac{1}{p}-1}=\frac{q}{p}x^{\frac{q}{p}-1}$$
ですので、$\displaystyle n=\frac{q}{p}$のときも成り立ちます。

④$n\in\mathbb{R}$のとき、特に$n$が無理数のとき

最後に$n\in\mathbb{R}$の場合について考えます。
これは少し特殊な対数微分法という証明方法を使います。
$y=x^n$の両辺に自然対数をとり、それを微分することで証明します。
$\log y=\log x^n$として、両辺を微分すると、

$$\left( \log y\right)^\prime=\left( \log x^n\right)^\prime$$
です。
従って、
$$\begin{eqnarray} \frac{y^\prime}{y}=\frac{n}{x}&\Leftrightarrow& y^\prime=\frac{n}{x}\cdot y=\frac{n}{x}\cdot x^n=nx^{n-1} \end{eqnarray}$$
です。
従って、$n\in\mathbb{R}$でも成り立つことが分かりました。

定理9.の証明終わり

※初等関数の微分を考える意味は次回述べます。

結

今回は、$ax^n,\ a^x,\ \log_ax$の微分について解説しました。
高校数学で学習しましたが、しっかり証明しようと思うと骨が折れます。
とはいえ、今までと毛色がすこし違って、比較的高校数学の範囲からあまり出ない証明だったかと思います。
とはいえ、形式的には成り立つけど、本気で考えようとするとしっかり大学数学の範囲になっています。

次回は三角関数、逆三角関数の微分法について解説します。

乞うご期待！