「共役類の基本的な性質と類等式」【代数学の基礎シリーズ】群論編その17

$H$が群$G$の部分群とする。このとき $$ {\rm Z}_G(H)=\left\{g\in G\middle|\forall h\in H,\ gh=hg\right\} $$ を$H$の中心化群という。また、 $$ {\rm Z}(G)={\rm Z}_G(G) $$ と書き、$G$の中心という。$x\in G$で$H=\langle x\rangle$のとき、${\rm Z}_G(H)$の代わりに${\rm Z}_G(x)$とも書き、$x$の中心化群という。

共役、共益類

共役、共役類

群$G$の要素$x,y$に対して、ある$g\in G$が存在して、$y=gxg^{-1}$となるとき、$x$と$y$は共役であるという。$x$と共役である要素の集合を$x$の共役類といい、$C(x)$と書く。

正規化部分群、中心化群、共役、共益類についての詳しい説明は【代数学の基礎シリーズ】群論編その16を御覧ください。

共役による作用の軽い復習

$G$を群、$X=G$とします。
$g\in G$、$h\in X$とするとき、${\rm Ad}(g)(h)=ghg^{-1}$と定めます。
$g_1,g_2,h\in G$なら、
$$
{\rm Ad}(g_1g_2)(h)=(g_1g_2)h(g_1g_2)^{-1}=g_1\left( g_2hg_2^{-1}\right)g_2^{-1}={\rm Ad}(g_1)\left( {\rm Ad}(g_2)(h)\right)
$$
です。
$G\times X$から$X$への写像を$(g,x)\mapsto {\rm Ad}(g)(x)$で定めると、これは左作用になります。
この作用のことを共役による作用といいます。

共役類の基本的な性質と類等式

本題です。

定理1.

$G$を有限群とする。

$x\in G$ならば、$\displaystyle\left|C(x)\right|=\frac{\left|G\right|}{\left|{\rm Z}_G(x)\right|}$である。また、$C(x)=\left\{x\right\}$であることと$x$が$G$の中心${\rm Z}(G)$の要素であることは同値である。
(類等式)　等式$\displaystyle\left|C(x)\right|=\sum\left|C(x)\right|$が成り立つ。ただし、和は全ての共役類を重複なく数えるとする。

定理1.の証明

1.の証明

群$G$の$G$への共役による作用を考えます。
$x\in G$に対して、${\rm Ad}(g)(x)=x$であることは、$gxg^{-1}=x$であることと同値です。
したがって、この作用に関する$x$の安定化群は${\rm Z}_G(x)$です。
また$x$の軌道は$x$の共役類$\left\{gxg^{-1}\middle| g\in G\right\}$です。
ここで、以下の事実を使います。

命題2.

$G$が集合$X$に作用するとする。$x\in X$であるとき、集合$Gx$と$G/{G_x}$は、対応 $$ G/{G_x}\ni gG_x\mapsto gx\in Gx $$ により、一対一対応する。故に、$\left|G\right|<\infty$ならば、$\left|Gx\right|=(G:G_x)=\left|G/{G_x}\right|$となる。

命題2.の証明は【代数学の基礎シリーズ】群論編その15を御覧ください。

命題2.から、
$$
\left|C(x)\right|=\frac{\left|G\right|}{\left|{\rm Z}_G(x)\right|}
$$
が得られます。

$C(x)=\left\{x\right\}$であることは、任意の$g\in G$に対して$gxg^{-1}=x$であることと同値です。
これは$gx=xg$と同値なわけですので、$x\in {\rm Z}(G)$と同値です。

2.の証明

共役類は同値類でした。
以下の同値類の性質を使います。

定理3.

$x\in X$と同値な要素全体を$C_x$と書き、これを$x$の同値類(equivalence class)という。すなわち、 $$C_x=\{y\in X\mid x\sim y\}$$ である。このとき、次が成り立つ。

$x\in C_x$,
$C_x\cap C_y\neq \emptyset \Rightarrow C_x=C_y$,
$C_x\neq C_y\Rightarrow C_x\cap C_y= \emptyset$,
$\displaystyle\bigcup_{x\in X}C_x=X$,
$x,y\in X,\ x\neq y,\ \Rightarrow\ C_x\cap C_y=\emptyset$

定理3.の証明は【論理と集合シリーズ】その7を御覧ください。

さて、定理3.から、$G$は同値類の直和なので、2.が得られます。

定理1.の証明終わり

$G$が有限群のときの類等式についてちょっと深堀り

定理1.により、$G$が有限群であれば、類等式は次の制約を受けることがわかります。

類等式の右辺には必ず$1$が少なくとも1回は現れる。
類等式の右辺に現れる数は全て$\left|G\right|$の約数である。
類等式の右辺に現れる$1$の数は$\left|G\right|$の約数である。

1.は単位元$1_G$の共役は$1_G$しかないことからわかります。
2.は$\left|C(x)\right|$は$\left|G\right|$の約数であることからわかります。
$\left|C(x)\right|=1$であることは$x\in{\rm Z}(G)$と同値なので、類等式の右辺に現れる$1$の数は$\left|{\rm Z}(G)\right|$です。
3.はこのことより従います。
このようにある式が類等式かどうかを1.、2.、3.を用いて調べることを自明な考察と呼ぶことにしましょう。

例えば、$\left|G\right|=3$なら、$3=1+2$は2.が成り立たないので、自明な考察により類等式ではありえません。

皆様のコメントを下さい！

今回はカントールです。

カントール(Cantor, Georg;1845–1918)はロシアのぺテルスブルグ生まれのユダヤ人数学者。
集合論の創始者です。
1856年にドイツに移住。
チューリッヒとベルリン大学を卒業後ベルリンで学位を得ました。
1879‐1905年Halle大学教授を勤めましたが、晩年には研究による極度の緊張から精神を病み、1918 年に病院で逝きました。
フーリエ級数展開の一意性に関する研究から集合論を創始しました。
1874年に濃度の概念を導入しました。
無限を実在のものと捉え、しかも無限の種類が1つではないことを言いきったことは、当時の数学界に衝撃を与えました。
クロネッカーは集合論に反対する立場を取り、カントールを苦しめましたが、デデキントやミッタグ‐レフラーにより支持を受けました。
ユークリッド空間の一般の点集合を扱い、集積点、開集合、閉集合の概念を定め、位相空間論の出発点を確立しました。
学界の頑迷さに対抗して、「数学の本質はその自由性にある」と叫んだといわれています。

如何でしたか？
今現在さも当然のように使っている集合という概念はカントールが創始したのです。
誠に偉大ですね。

ここに書かれれいることの他に、カントールについてご存知のことがあれば是非コメントで教えて下さい！

結

今回は、共役類の基本的な性質と類等式について解説しました。
どちらも有限群(要素が有限個の群)をより深く理解する上で良い武器になります。

次回は対称群の共役類の初歩について解説します。

乞うご期待！
質問、コメントなどお待ちしております！
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もし直ちに回答が欲しければその旨もコメントでお知らせください。直ちに対応いたします。

「共役類の基本的な性質と類等式」【代数学の基礎シリーズ】群論編その17

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正規化(部分)群、中心化群、共役類の軽い復習

正規化(部分)群

中心化群