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「生成元と関係式で定義された群とその性質」【代数学の基礎シリーズ】群論編 その30

代数学

本記事の内容

本記事は、生成元と関係式で定義された群とその性質について解説する記事です。

本記事を読むに当たり、自由群について知っている必要があるため、以下の記事も合わせて御覧ください。

各種軽い復習

対称群

SX={f:XXfは全単射}

は写像の合成を演算として群でした。
このSXは特別な呼び名があり、置換群、または対称群と呼びます。

これは、まさに以前線型代数の記事で解説した置換が、写像の合成でもって群であるということです。
置換とは以下でした。

置換

nNとする。n個の文字1,2,,nからなる集合を Mn={1,2,,n} とする。写像σ:MnMnが全単射であるとき、σMn置換という。
 置換σによる対応が 1i1, 2i2,,nin であるとする、すなわち、 σ(1)=i1, σ(2)=i2,, σ(n)=in とする。このときσσ=(12ni1i2in) と書く。

生成された部分群

定理1.

SSの要素による語全体の集合とするとき、次の1.、2.が成り立つ。
  1. SGの部分群である。
  2. HGの部分群でSを含むならば、SHである。すなわち、SSを含むような最小の部分群である。

定理1.の証明は【代数学の基礎シリーズ】群論編 その2を御覧ください。

定理1.SのことをSによって生成された部分群Sのことを生成系Sの要素を生成元といいます。

これをまとめると、次です。

生成された部分群、生成系、生成元

SSの要素による語全体の集合とするとき、SSによって生成された部分群Sのことを生成系Sの要素を生成元という。

自由群

自由群

  1. n個の変数をx1,,xnと書く。x1,,xnの長さm>0とは、{1,,m}から {1,,n}×{1,1}={(1,1),(1,1),,(n,1),(n,1)} への写像のことと定める。この写像の1,,mでの値が(i1,p1),,(im,pm)なら(p1,,pm=±1)、この要素を xp1i1xpmim と書く。x1,,xnの長さ0の語は一つだけあると定め、それを1と書く。
  2. 縮約
  3. Wn,mx1,,xnの長さmの語の集合として、 Wn=m=0Wn,m と定める。Wnの要素xp1i1xpmimが途中でxix1iまたはx1ixiという表現を含むならば、その部分を除いて新たな語を得ることを語の縮約という。
  4. 自由群
  5. y1,y2が両方を縮約して(何もしないことも含みます)同じ語になるとき、y1,y2は同値であるという。これは同値関係になる。Wnに対してこの同値関係における商集合をFnと書く。Fnの任意の要素yに対して、y1=1y=yと定める。長さm,l>0の語 y1=xp1i1xpmim,y2=xq1j1xqljlWn を代表元に持つFnの2つの要素に対して、その積を xp1i1xpmimxq1j1xqljlWn を代表元にもつFnの要素とする。これは代表元のとり方によらずに定まるため、Fnの演算となる。この演算によりFnは群となる。この群Fnn変数の自由群という。

生成元と関係式で定義された群

まずは具体例とそのイメージから

例えば、対称群G3は、σ=(1 2 3)τ=(1 2)という2つの要素から生成され、σ3=τ2=1τστ=σ1という関係式を満たします。
しかし、例えば自明な群H={1}σ=τ=1としても同じ関係式を満たします。

つまり、

ある生成元を持ち、それが与えられた関係式を満たすような群の中で、最大のものがないか?

という問題意識から来ているのが、生成元と関係式で与えられた群なのです。
そして、生成元と関係式で与えられた群がそれを実現しているのです。

生成元と関係式で定義された群の数学的な説明

Fnn変数x=(x1,,xn)の自由群、R1(x),,Rm(x)を有限個のFnの要素とします。
このとき、
S={gRi(x)g1|gFn, i=1,,m},N= S
とします。
このとき、以下の事実を使います。

系2.

Gを群、SGとする。このとき N={xyx1|xG yS}Sを含む最小のGの正規部分群である。

この系2.から、NR1(x),,Rm(x)を含む最小の正規部分群です。

生成元と関係式で定義された群

Fn/Nx1,,xn|R1(x)=1,,Rm(x)=1と書き、生成元x1,,xnと関係式R1(x)=1,,Rm(x)=1で定義された群という。

x1,,xnFn/Nにおける像も、記号を乱用してしまいますがx1,,xnと書きます。
なお、変数はx1,,xnでなくても同じです。
また、τστ=σ1というような関係式はτστσ=1として解釈します。
例えば、
x,y|x3=y2=1, yxy=x1=x,y|x3=y2=!, yxyx=1
とみなす、ということです。

生成元と関係式で定義された群の性質

R(x)が語、Gが群でy1,,ynGとします。
このとき、次の事実を使います。

定理3.

Gを群、g1,,gnGとする(g1,,gnには重複があっても良い)。このとき、n変数の自由群FnからGへの、φ(xi)=giが任意のi=1,,nに対して成り立つような準同型φがただ一つ存在する。

定理3.の証明は【代数学の基礎シリーズ】群論編 その29を御覧ください。

定理3.により、x1,,xny1,,ynを代入したGの要素R(y1,,yn)Gを考えることができます。
先程定めた群は次の性質を持ちます。

定理4.

Gn個の生成元y1,,ynを持ち、関係式 R1(y1,,yn)==Rm(y1,,yn)=1G を持つとする。このとき、 K=x1,,xn|R1(x)=1, ,R(x)=1 からGへの、φ(x1)=y1,,φ(xn)=ymを満たす全射準同型φが存在する。

定理4.の証明

S,Nは先程定めた
S={gRi(x)g1|gFn, i=1,,m},N= S
とします。

定理3.から、ψ(x1)=y1,,ψ(xn)=ynを満たす準同型写像ψ:FnGが存在します。
Gy1,,ynで生成されているわけですので、ψは全射です。

GではR1(y1,,yn)==Rm(y1,,yn)=1Gが成り立つので、R1(x),,Rm(x)Ker(ψ)です。
Ker(ψ)Fnの正規部分群なので、SKer(ψ)です。
故に、NKer(ψ)です。

ここで、次の事実を使います。

定理5.(準同型の分解)

φ:GHを群の準同型とする。NGが正規部分群なら、π:GG/Nを自然な準同型とするとき、下図が可換図式となるような準同型ψ:G/NHが存在するための必要十分条件はNKer(φ)となることである。

定理5.の証明は【代数学の基礎シリーズ】群論編 その8を御覧ください。

定理5.から、π:FnKを自然な全射とするとき、ψ=φπとなる準同型写像φ:KGが存在します。
ψが全射なので、φもまた全射であり、ψ(xi)=yiなので、φ(xi)=yiです。

定理4.の証明終わり

補足情報

軍が生成元と関係式で与えられることは「トポロジー」などでよくあることという印象があります(専門ではないので偏見かもしれませんが)。
その場合には群の位数が有限なのか、無限なのか、もし有限であればその位数は何か?ということが基本的な問題です。
一般には「トッド-コクセターの方法」というものが知られていて、これに対する完全な答えを与えることができます(ここでは述べません)。

簡単な場合には、群の位数が何か以下になるということは比較的容易にわかりますが、問題なのは、群の位数が何か以上になる、ということを示す部分です。

皆様のコメントを下さい!

今回から数回に渡って、幾何学の歴史について少々語ろうと思います。

我々が学校で学んだ幾何学は古代ギリシャで確立した理論であり、その多くの定理はピタゴラス学派によって証明されました。
「三角形の内角の和は180」という定理と三平方の定理がその代表です。

補助線CDは辺ABに平行だとします。
内角の和が180であるということは、平行線の性質である「錯覚は等しい」、「同位角は等しい」ことから導かれます。

三平方の定理は「面積の移動」で証明されます。
下の図を見ると、使うのは「三角形のの面積は底辺と高さで決まる」ことと、三角形の合同定理(二辺狭角)です。

内角の和定理と三平方の定理は「紙の上」での事実ではありますが、宇宙空間の構造を研究する一般相対論と、曲がった空間を研究する現代幾何学に密接に関連しています。

以前ピタゴラス学派を紹介した際に述べたと思いますが(述べてなかったらごめんなさい)、ピタゴラス学派は全ての線分が互いに「通訳的」、つまり線分の長さの比は常に有理数だと信じていました。

ピタゴラス学派による比の「相等」
4つの線分α1,β1,α2,β2についてα1:β1=α2:β2が成り立つのは、ある自然数m,nが存在して
mα1=nβ1ならばmα2=nβ2
が成り立つことである。

次の定理は幾何学に置いて基本的な役割を担っています。
ただし、全ての線分は通訳的だとします。

定理
ABCの辺AB上の点Dから辺BCに塀行こうな直線を引き、辺ACとの交点をEとする。このとき AD:DB=AE:EC である。

しかしながら、ピタゴラス学派が証明した三平方の定理によれば、直角二等辺三角形の斜辺と他の辺の比は通訳的ではありません。
実際、aを斜辺の長さとして、他の辺の長さを1とすると、12+12=a2、つまりa2=2となって、aは有理数ではありません。
したがって、ピタゴラス学派の幾何学は破綻してしまいました。

この「危機」を救ったのがユードクソスです。
ユードクソスの理論は、19世紀になってデデキントによる実数の厳密な理論に繋がります。

今回は生成元と関係式で定義された群について解説しました。
この群は「ある生成元を持ち、それが与えられた関係式を満たすような群の中で最大のもの」です。
似たようなものとして、最小の正規部分群というものがありましたが、考え方によってはある種その対比のようなものです。

次回は今回解説した群の例題として、実際にどのように使うか、ということを述べます。

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代数についてより詳しく知りたい方は以下を参考にすると良いと思います!

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