「写像って数学的に何？」「結局、関数と同じでは？」【論理と集合シリーズ】写像編 その３

本記事の内容

本記事は、「写像って数学的に何のこと？」ということに答える記事である。
写像は数学の専門書でも「対応」やら「規則」やらという抽象的な表現で語れれることもしばしばである。
今回は素朴な立場と厳密な立場の２立場で説明する。

で、何すか写像って？

というわけで、今まで述べた写像の正体を素朴に述べる。

つまり、任意の\(X\)の要素に対して、その対応先を指定することで写像が決まる、というわけだ。

さて、先に述べた通り、これ素朴な写像の説明である。
これだと「ん？」となるかもしれない。
というのも、先は
「\(f\)が\(X\)から\(Y\)への写像である。」ことを「\(X\)の任意の要素\(x\)に対して\(Y\)の要素\(y\)がただ一つ定まる。」ことという説明だからである。
すなわち、\(f\)が\(X\)から\(Y\)への写像であるという状態は、任意の\(X\)の要素\(x\)に対して\(Y\)の要素\(y\)がただ一つ定まっている状態である、という説明である。
くどいかもしれないが、これでは「写像である、という状態」は説明しているのだが、写像とは何か？という問には答えられていない。
例えば、「奇数って何すか？」と言われたらば、「\(2\)で割って\(1\)あまる整数。」と答えるのだが、奇数の正体は「整数」である。
この例における「整数」に対応するものが上記の写像の説明にはない。

しかし一方で、上記の説明は正しいのもまた事実である。
つまり、「\(X\)の任意の要素\(x\)に対して、\(Y\)の要素\(y\)がただ一つ定まっている状態のとき、\(f\)は\(X\)から\(Y\)への写像であると呼ぶ。」のだから、この\(f\)が写像である、と言いかえることができるからである。

例1.,2.,3.,を再度見直してみよう。

例1.(料理を食べるときに使う食器との対応規則)
\(X=\{カレー,ステーキ、おにぎり,チャーハン\}\)、\(Y=\{スプーン,ナイフ,手,足\}\)とする。
このとき、

1. カレーとスプーン
2. ステーキとナイフ
3. おにぎりと手
4. チャーハンとスプーン

という対応\(h\)を考える。
このとき、任意の\(x\in X\)(\(x\)の正体はカレー、ステーキ、おにぎり、チャーハン)に対して、\(y\in Y\)(\(y\)の正体はスプーンで、ナイフ、手、足)がただ一つ定まっているため、

1. \(スプーン=h(カレー)\)、
2. \(ナイフ=h(ステーキ)\)、
3. \(手=h(おにぎり)\)
4. \(スプーン=h(チャーハン)\)

と書くことができる。
従って、この対応\(h\)は\(X\)から\(Y\)への写像であり、\(h:X\to Y\)やら\(X\stackrel{h}{\to}Y\)と書く。

例2.(数学っぽい例)
\(X=\{1,2,3\}\)、\(Y=\{1,4,9\}\)とする。
\(X\)の要素\(1,2,3\)に対して\(Y\)の要素\(1,4,9\)を次のように対応させる。

1. \(1\in X\)と\(1\in Y\)、
2. \(2\in X\)と\(4\in Y\)、
3. \(3\in X\)と\(9\in Y\)。

この対応\(g\)を考える。
このとき、任意の\(x\in X\)(\(x\)の正体は\(1,2,3\))に対して、\(y\in Y\)(\(y\)の正体は\(1,4,9\))がただ一つ定まっているため、

1. \(g(1)=1\)、
2. \(g(2)=4\)、
3. \(g(3)=9\)。

と書く事ができる。
従って、この対応\(g\)は\(X\)から\(Y\)への写像(この場合は関数と言っても良い)であり、\(g:X\to Y\)やら\(X\stackrel{g}{\to}Y\)と書く。

例3.(実数値の関数)
\(X=Y=\mathbb{R}\)とする。
このとき、任意の\(x\in X=\mathbb{R}\)に対して、\(Y=\mathbb{R}\)の要素\(y\)と\(x^2\)とを対応させるような対応\(f\)を考える。
このとき、任意の\(x\in X\)(\(x\)の正体は実数)に対して、\(y\in Y\)(\(y\)の正体は実数)がただ一つ定まっているため、

• \(f(1)=1\)、
• \(\displaystyle f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{9}{4}\)、
• \(f(7)=49\)、
• \(f(\sqrt{2})=2\)
• などなど…

と書く事ができる。
従って、この対応\(f\)は\(X\)から\(Y\)への写像(この場合は関数と言っても良い)であり、\(f:X\to Y\)やら\(X\stackrel{f}{\to}Y\)と書く。

写像(素朴ver.)を見て「なるほどね」となったらば、それでOKである。
しかし、「なんか納得できねえな。対応ってなんだ。」となっている方は次の集合の言葉を使った説明を読むと一手に解決されると思われる。

ここで注意なのが、

\(X\)の要素全てに対して、\(Y\)の要素がただ１つ定まっている。

ということである。
\(X\)の要素の中に\(Y\)の要素と対応しない要素があれば、その対応\(f\)は写像ではない。

さて、\(X\)から\(Y\)への写像\(f\)の正体はなにか、というと、

\(X\times Y\)の部分集合だ！

ということである。
くどいかもしれないが、再度例1.,2.,3.,を見てみよう。

例1.(料理を食べるときに使う食器との対応規則)
\(X=\{カレー,ステーキ、おにぎり,チャーハン\}\)、\(Y=\{スプーン,ナイフ,手,足\}\)とすると、
$$X\times Y=\{(カレー,スプーン),(カレー,ナイフ),(カレー,手),(カレー,足),\\ \
(ステーキ,スプーン),(ステーキ,ナイフ),(ステーキ,手),(ステーキ,足),\\ \
(おにぎり,スプーン),(おにぎり,ナイフ),(おにぎり,手),(おにぎり,足),\\ \
(チャーハン,スプーン),(チャーハン,ナイフ),(チャーハン,手),(チャーハン,足),\}$$
である。
このとき、
$$h=\{(カレー,スプーン),(ステーキ,ナイフ),(おにぎり,手),(チャーハン,スプーン)\}$$
とすれば、\(h\subset X\times Y\)であり、任意の\(x\in X\)(\(x\)の正体はカレー、ステーキ、おにぎり、チャーハン)に対して、\(y\in Y\)(\(y\)の正体はスプーン、ナイフ、手、足)が存在して、\((x,y)\in h\)である。
実際、

• カレー\(\in X\)に対して、スプーン\(\in Y\)が存在して、\((カレー,スプーン)\in h\),
• ステーキ\(\in X\)に対して、ナイフ\(\in Y\)が存在して、\((ステーキ,ナイフ)\in h\),
• おにぎり\(\in X\)に対して、手\(\in Y\)が存在して、\((おにぎり,手)\in h\),
• チャーハン\(\in X\)に対して、スプーン\(\in Y\)が存在して、\((チャーハン,スプーン)\in h\).

であるからである。
さらに、\((\forall (x_1,y_1)\in h)(\forall (x_2,y_2)\in h)\ (x_1=x_2\Rightarrow y_1=y_2)\)も満たしている。
特に、この命題の対偶\((\forall (x_1,y_1)\in h)(\forall (x_2,y_2)\in h)\ (y_1\neq y_2\Rightarrow x_1\neq x_2)\)を満たしている。
実際、

• (カレー,スプーン)\(\in h\)と(ステーキ,ナイフ)\(\in h\)を\(h\)から任意に選んだとき、カレー\(\neq\)ステーキである。
• (カレー,スプーン)\(\in h\)と(おにぎり,手)\(\in h\)を\(h\)から任意に選んだとき、カレー\(\neq\)おにぎりである。
• (ステーキ,ナイフ)\(\in h\)と(おにぎり,手)\(\in h\)を\(h\)から任意に選んだとき、ステーキ\(\neq\)おにぎりである。
• (ステーキ,ナイフ)\(\in h\)と(チャーハン,スプーン)\(\in h\)を\(h\)から任意に選んだとき、ステーキ\(\neq\)チャーハンである。
• (おにぎり,手)\(\in f\)と(チャーハン,スプーン)\(\in h\)を\(h\)から任意に選んだとき、おにぎり\(\neq\)チャーハンである。

従って、この対応\(h\)は\(X\)から\(Y\)への写像である。\(h:X\to Y\)やら\(X\stackrel{h}{\to}Y\)と書き、\(h(カレー)=スプーン、h(ステーキ)=ナイフ、h(おにぎり)=手、h(チャーハン)=スプーン\)と書く。

例2.(数学っぽい例)
\(X=\{1,2,3\}\)、\(Y=\{1,4,9\}\)とすると、
$$X\times Y=\{(1,1),(1,4),(1,9),\
(2,1),(2,4),(2,9),\
(3,1),(3,4),(3,9),\}$$
である。
このとき、
$$g=\{(1,1),(2,4),(3,9)\}$$
とすれば、\(g\subset X\times Y\)であり、任意の\(x\in X\)に対して、\(y\in Y\)が存在して、\((x,y)\in g\)である。
実際、

• \(1\in X\)に対して、\(1\in Y\)が存在して、\((1,1)\in g\),
• \(2\in X\)に対して、\(4\in Y\)が存在して、\((2,4)\in g\),
• \(3\in X\)に対して、\(9\in Y\)が存在して、\((3,9)\in g\),

であるからである。
さらに、\((\forall (x_1,y_1)\in h)(\forall (x_2,y_2)\in h)\ (x_1=x_2\Rightarrow y_1=y_2)\)も満たしている。
特に、この命題の対偶\((\forall (x_1,y_1)\in h)(\forall (x_2,y_2)\in h)\ (y_1\neq y_2\Rightarrow x_1\neq x_2)\)を満たしている。
実際、

• \((1,1)\in g\)と\((2,4)\in g\)を\(g\)から任意に選んだとき、\(1\neq2\)である。
• \((1,1)\in g\)と\((3,9)\in g\)を\(g\)から任意に選んだとき、\(1\neq3\)である。
• \((2,4)\in g\)と\((3,9)\in g\)を\(g\)から任意に選んだとき、\(2\neq3\)である。

従って、この対応\(g\)は\(X\)から\(Y\)への写像であり、\(g:X\to Y\)やら\(X\stackrel{g}{\to}Y\)と書き、\(g(1)=1、g(2)=4、g(3)=9\)と書く。

例3.(実数値の関数)
\(X=Y=\mathbb{R}\)とすると、\(X\times Y=\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^2\)である。
このとき、
$$f=\{(x,x^2)\mid x\in X\}$$
とすれば、\(f\subset X\times Y\)であり、任意の\(x\in X\)に対して、\(y\in Y\)が存在して、\((x,y)\in f\)である。
実際、任意の実数\(x\)に対して、それを二乗した数\(x^2\)もまた実数であり、\(x^2\)という値は必ず1つである。
(※例えば自然数\(7\)に対して、その二乗した数は\(49\)であり、\(49\)以外の数にはなりえない。これがすべての実数で成り立つ。)

さらに、\((\forall (x_1,y_1)\in f)(\forall (x_2,y_2)\in f)\ (x_1=x_2\Rightarrow y_1=y_2)\)も満たしている。
実際、任意の\((x_1,y_1)\in f\)と任意の\((x_2,y_2)\in f\)に対して、\(y_1=x_1^2\)かつ\(y_2=x_2^2\)を満たしているので、\((x_1,y_1)=(x_1,x_1^2)\)かつ\((x_2,y_2)=(x_2,x_2^2)\)である。
今、\(x_1=x_2\)なのだから、\(x_1^2=x_2^2\)であるので、\(y_1=y_2\)である。

従って、この対応\(f\)は\(X\)から\(Y\)への写像であり、\(f:X\to Y\)やら\(X\stackrel{f}{\to}Y\)と書き、任意の\(x\in X\)に対して\((x,y)\in f\)となる\(y\in Y\)を\(y=f(x)\)と書く。
すなわち、\(x^2=f(x)\)と書く。

え？結局のところ写像って関数なんじゃね？

序盤でも述べたとおり、概ねそのとおりである。
上記の3つの例は関数色が強い例を挙げたからである。
そこで、関数というより写像っぽい(と筆者が思う)例を挙げる。

例4.(\(\mathbb{R}\(の一次変換)
\(a,b,c,d\in\mathbb{R}\)とする。
写像\(f:\mathbb{R^2}\to\mathbb{R}^2\)を以下のように定める。
\((x’,y’)=f(x,y)\)として、
$$
\begin{pmatrix}
x’\\
y’
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}
$$
とする。
これは、\(ad-bc\neq0\)のとき、\((x,y)\)が直線上の点であれば、\((x’,y’)\)は別の直線上の点である。
要は、\(ad-bc\neq0\)のとき、直線は直線に、線分は線分に、三角形は三角形に、平面全体は平面全体に写す。
すなわち、ある点を別の点に写す(移動する)という写像である。

結

今回は「で、写像って何？」ということを素朴な立場と厳密な立場で解説した。

以前の記事(【論理と集合シリーズ】その7)で述べた「関係」(特に二項関係)のように、２つの対象の間の”つながり”を表現するときは直積集合を使うことがよくある、ということである。

次回は写像\(f:X\to Y\)の\(X\)、\(Y\)およびそれに付随する諸概念とその名称を説明する。

乞うご期待！質問、コメントなどお待ちしております！

この記事の内容をより詳しく知りたい方は以下のリンクの本を参照してください！
ちなみに、「集合・写像・論理ー数学の基本を学ぶ」の方が入門者にはオススメです！