本記事の内容
本記事は関数の一様連続とハイネの定理を解説する記事です。
本記事を読むにあたり、関数の連続について知っている必要があるため、以下の記事も合わせてご覧ください。
↓実数値関数の連続についての記事
↓ベクトル値関数の連続についての記事
本記事を書く理由
“積分編”と銘打っていますが、今回は積分の話はしません。
ではなぜ一様連続の話をするか、というと「有界閉区間で連続な関数は、その有界閉区間上で可積分である」という定理を証明するために必要だからです。
一様連続
では、一様連続について解説します。
一様連続ってなんですか？
実は、関数の連続を知っていると”形式的には”非常に簡単です。
関数の連続についての論理式を一部順序を変えるだけです。
まずは形式的に、数学的に一様連続について述べてしまいます。
一様連続
A⊂Rnとする。関数f:A→Rmが、任意のε>0に対してあるδ>0が存在して、‖x−y‖<δを満たす全てのx,y∈Aに対し、 ‖f(x)−f(y)‖<ε が成り立つとき、A上(で)一様連続であるという。論理式で書けば (∀ε>0) (∃δ>0) s.t. (∀x∈A) (∀y∈A) (‖x−y‖<δ⟹‖f(x)−f(y)‖<ε) である。これを見ると、「関数の連続と似てるな」と思うのではないでしょうか。
そのとおりで、似ています。
ただ、同じではありません。
関数の連続を論理式で書くと、
(∀x∈A) (∀ε>0) (∃δ>0) s.t. (∀y∈A) (‖x−y‖<δ⟹‖f(x)−f(y)‖<ε)
です。
何が違うかと言うと
- 関数の連続
(∀x∈A) (∀ε>0) (∃δ>0) s.t. (∀y∈A) (‖x−y‖<δ⟹‖f(x)−f(y)‖<ε) - 一様連続
(∀ε>0) (∃δ>0) s.t. (∀x∈A) (∀y∈A) (‖x−y‖<δ⟹‖f(x)−f(y)‖<ε)
というのが形式的な違いで、「任意のx∈Aに対して」という文言の場所が違う、ということになります。
一様連続の論理式をもう少し詳しく見てみる
関数の連続と一様連続のそれぞれを日本語に直してみます。
- 関数の連続
定義域内の任意のx∈Aについて、任意のε>0に対してあるδ>0が存在して、任意のy∈Aが‖x−y‖<δならば‖f(x)−f(y)‖<εである。 - 一様連続
任意のε>0に対してあるδ>0が存在して、任意のx,y∈Aが‖x−y‖<δならば‖f(x)−f(y)‖<εである。
となります。
関数の連続は、「x∈Aについて、あるδ>0が存在して」ということですので、各x∈Aそれぞれに対応したδが存在する、ということになります。
つまり、δはx∈Aに依存するため、それぞれのxによってδは異なる、ということになります。
一方で、一様連続は「あるδ>0が存在して、任意のxに対して」ということですので、このδはx∈Aには一切依存しません。
つまり、どのx∈Aに着目してもδの値は全部同じです。
ゆえに、
ということになります。
別の言い方をすると、一様連続は連続よりもより限定的な状況を述べている、ということです。
さらに以上のことから
定理1.
fがA上一様連続ならば、fはA上で連続である。が成り立ちます。
一様連続の図的なイメージ
一様連続を別の言い方で言い換えてみると、
ということです。
ここで、”全体的に均一だ”というのはδによるfの変化量が全て0に近づく、という意味です。
どういうことかというと、例えば[a−δ,a+δ]という区間を考えてみましょう。
このとき、f(a+δ)とf(a−δ)の差f(a+δ)−f(a−δ)を考えてみます。
通常の関数の連続の場合も一様連続の場合もf(a+δ)−f(a−δ)は0に近づきます。
一様連続の場合はδがaに依存しないので、定義域のどこをδで区切ってもf(a+δ)−f(a−δ)が0に近づく、ということになります。
しかし、単なる連続の場合はδがaに依存するため、δが一定のときはaによってはf(a+δ)−f(a−δ)が0に近づくとは限りません。
これを図で説明すると次です。
どんなのが一様連続ですか？
例2. A=[0,2]、f:A→Rがf(x)=x2で定められているとします。
このとき、fはA上で一様連続です。
実際、任意のε>0に対してδ=ε4とすると、任意のx,y∈Aに対して
|f(x)−f(y)|=|x2−y2|=|x+y|⋅|x−y|<|x+y|⋅δ≤4δ=ε
となるからです。
ちなみに|x+y|⋅δ≤4δが成り立つのはx,y∈[0,2]だからです。
しかしながら、このfは定義域がRのときは一様連続ではありません。
例3. f:R→Rがf(x)=x2で定められているとします。
このとき、fは一様連続ではありません。
実際、ε=1として、任意のδ>0に対して
x=δ2+1δ,y=1δ
とすると、
|x−y|=δ2+1δ−1δ=δ2<δ
となります。
しかしながら、
|f(x)−f(y)|=|x−y|⋅|x+y|=δ2(δ2+2δ)=δ24+1≥1
となります。
今、何が成り立ったかと言うと
が成り立った、ということです。
これはまさに一様連続の否定
(∃ε>0) s.t. [(∀δ>0) (∃x∈A) (∃y∈A) s.t. (|x−y|<δ∧|f(x)−f(y)|≥ε)]
が成り立った、ということになります。
さらに言えば、定理1.の逆は成り立たない、ということです。
ハイネの定理
先程、「一様連続は通常の連続よりも強い主張ですよ〜」という話をしました。
実は、有界閉集合上であれば、「連続」から、「連続」よりも強い「一様連続」が従います。
これがハイネの定理です。
定理4.(ハイネの定理)
A⊂Rnが有界閉集合だとする。このとき、f:A→RmがAで連続ならば、fはA上一様連続である。ハイネの定理の証明
fがA上一様連続でないとして、矛盾を導きます(背理法！)。
今、fがA上一様連続でないとしているので、一様連続の否定
(∃ε>0) s.t. [(∀δ>0) (∃x∈A) (∃y∈A) s.t. (‖x−y‖<δ∧‖f(x)−f(y)‖≥ε)]⋯①
が成り立っています。
δ>0は任意なので、δ=1k (k∈N)としても①が成り立っています。
①から
今、Aが有界閉集合であることに注意して、以下の事実を使います。
命題5.
A⊂RnがA≠∅とする。このとき次の２つは同値である。- Aは有界閉集合である、
- Aの要素からなる任意の点列{xn}n∈Nは収束する部分列を持ち、その極限はAに属する。
命題5.の証明は【解析学の基礎シリーズ】多変数関数編 その18を御覧ください。
さて、命題5.からAの点列{xk}k∈Nの部分列{xkp}p∈Nが存在して、
limp→∞xkp=x∈A⋯③
です。
②から、‖xkp−ykp‖<1kpです。
またkp≥pです。
これについては【解析学の基礎シリーズ】関数の極限編 その16の補題2.の証明を御覧ください。
さて、以上のことから
limp→∞‖xkp−ykp‖=0⋯④
です。
従って、③と④から
‖ykp−x‖≤‖ykp−xkp‖+‖xkp−x‖⟶0(p→∞)
です。
すなわち、
limp→∞ykp=x⋯⑤
が成り立ちます。
②により、
‖f(xkp)−f(ykp)‖≥ε(∀p∈N)
ですから、ここでp→∞として、③と⑤を用いると、fのx∈Aにおける連続性から
0=‖f(x)−f(x)‖≥ε0
となって矛盾です。
ハイネの定理の証明終わり
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結
今回は、一様連続とハイネの定理について解説しました。
一様連続は連続よりも強い主張で、形式的には論理式の(∃δ>0)の場所が異なるというのが連続との違いです。
直感的には「定義域の各点によらず、”全体的に均一に”連続だ」ということです。
一様連続は連続よりも強い主張なのですが、定義域が有界閉集合である場合、一様連続ならば連続という事実が導けます。
これがハイネの定理です。
次回は連続関数の可積分性、積分の強単調性について解説します。
乞うご期待！
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