本記事の内容
本記事は関数の一様連続とハイネの定理を解説する記事です。
本記事を読むにあたり、関数の連続について知っている必要があるため、以下の記事も合わせてご覧ください。
↓実数値関数の連続についての記事
↓ベクトル値関数の連続についての記事
本記事を書く理由
“積分編”と銘打っていますが、今回は積分の話はしません。
ではなぜ一様連続の話をするか、というと「有界閉区間で連続な関数は、その有界閉区間上で可積分である」という定理を証明するために必要だからです。
一様連続
では、一様連続について解説します。
一様連続ってなんですか？
実は、関数の連続を知っていると”形式的には”非常に簡単です。
関数の連続についての論理式を一部順序を変えるだけです。
まずは形式的に、数学的に一様連続について述べてしまいます。
一様連続
\(A\subset \mathbb{R}^n\)とする。関数\(\boldsymbol{f}:A\to\mathbb{R}^m\)が、任意の\(\varepsilon>0\)に対してある\(\delta>0\)が存在して、\(\left\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\|<\delta\)を満たす全ての\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in A\)に対し、 $$ \left\|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{y})\right\|<\varepsilon $$ が成り立つとき、\(A\)上(で)一様連続であるという。論理式で書けば $$ (\forall \varepsilon>0)\ (\exists \delta>0)\ {\rm s.t.}\ (\forall \boldsymbol{x}\in A)\ (\forall \boldsymbol{y}\in A)\ (\left\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\|<\delta\Longrightarrow \left\|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{y})\right\|<\varepsilon) $$ である。これを見ると、「関数の連続と似てるな」と思うのではないでしょうか。
そのとおりで、似ています。
ただ、同じではありません。
関数の連続を論理式で書くと、
$$
(\forall \boldsymbol{x}\in A)\ (\forall \varepsilon>0)\ (\exists \delta>0)\ {\rm s.t.}\ (\forall \boldsymbol{y}\in A)\ (\left\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\|<\delta\Longrightarrow \left\|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{y})\right\|<\varepsilon)
$$
です。
何が違うかと言うと
- 関数の連続
$$
\color{red}{(\forall \boldsymbol{x}\in A)}\ (\forall \varepsilon>0)\ (\exists \delta>0)\ {\rm s.t.}\ (\forall \boldsymbol{y}\in A)\ (\left\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\|<\delta\Longrightarrow \left\|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{y})\right\|<\varepsilon)
$$ - 一様連続
$$
(\forall \varepsilon>0)\ (\exists \delta>0)\ {\rm s.t.}\ \color{red}{(\forall \boldsymbol{x}\in A)}\ (\forall \boldsymbol{y}\in A)\ (\left\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\|<\delta\Longrightarrow \left\|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{y})\right\|<\varepsilon)
$$
というのが形式的な違いで、「任意の\(\boldsymbol{x}\in A\)に対して」という文言の場所が違う、ということになります。
一様連続の論理式をもう少し詳しく見てみる
関数の連続と一様連続のそれぞれを日本語に直してみます。
- 関数の連続
定義域内の任意の\(\boldsymbol{x}\in A\)について、任意の\(\varepsilon>0\)に対してある\(\delta>0\)が存在して、任意の\(\boldsymbol{y}\in A\)が\(\left\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\|<\delta\)ならば\(\left\|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{y})\right\|<\varepsilon\)である。 - 一様連続
任意の\(\varepsilon>0\)に対してある\(\delta>0\)が存在して、任意の\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in A\)が\(\left\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\|<\delta\)ならば\(\left\|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{y})\right\|<\varepsilon\)である。
となります。
関数の連続は、「\(\boldsymbol{x}\in A\)について、ある\(\delta>0\)が存在して」ということですので、各\(\boldsymbol{x}\in A\)それぞれに対応した\(\delta\)が存在する、ということになります。
つまり、\(\delta\)は\(\boldsymbol{x}\in A\)に依存するため、それぞれの\(\boldsymbol{x}\)によって\(\delta\)は異なる、ということになります。
一方で、一様連続は「ある\(\delta>0\)が存在して、任意の\(\boldsymbol{x}\)に対して」ということですので、この\(\delta\)は\(\boldsymbol{x}\in A\)には一切依存しません。
つまり、どの\(\boldsymbol{x}\in A\)に着目しても\(\delta\)の値は全部同じです。
ゆえに、
ということになります。
別の言い方をすると、一様連続は連続よりもより限定的な状況を述べている、ということです。
さらに以上のことから
定理1.
\(\boldsymbol{f}\)が\(A\)上一様連続ならば、\(\boldsymbol{f}\)は\(A\)上で連続である。が成り立ちます。
一様連続の図的なイメージ
一様連続を別の言い方で言い換えてみると、
ということです。
ここで、”全体的に均一だ”というのは\(\delta\)による\(\boldsymbol{f}\)の変化量が全て\(0\)に近づく、という意味です。
どういうことかというと、例えば\([a-\delta,a+\delta]\)という区間を考えてみましょう。
このとき、\(f(a+\delta)\)と\(f(a-\delta)\)の差\(f(a+\delta)-f(a-\delta)\)を考えてみます。
通常の関数の連続の場合も一様連続の場合も\(f(a+\delta)-f(a-\delta)\)は\(0\)に近づきます。
一様連続の場合は\(\delta\)が\(a\)に依存しないので、定義域のどこを\(\delta\)で区切っても\(f(a+\delta)-f(a-\delta)\)が\(0\)に近づく、ということになります。
しかし、単なる連続の場合は\(\delta\)が\(a\)に依存するため、\(\delta\)が一定のときは\(a\)によっては\(f(a+\delta)-f(a-\delta)\)が\(0\)に近づくとは限りません。
これを図で説明すると次です。
どんなのが一様連続ですか？
例2. \(A=[0,2]\)、\(f:A\to\mathbb{R}\)が\(f(x)=x^2\)で定められているとします。
このとき、\(f\)は\(A\)上で一様連続です。
実際、任意の\(\varepsilon>0\)に対して\(\displaystyle\delta=\frac{\varepsilon}{4}\)とすると、任意の\(x,y\in A\)に対して
$$
\left|f(x)-f(y)\right|=|x^2-y^2|=|x+y|\cdot|x-y|<|x+y|\cdot\delta\leq 4\delta=\varepsilon
$$
となるからです。
ちなみに\(|x+y|\cdot\delta\leq 4\delta\)が成り立つのは\(x,y\in[0,2]\)だからです。
しかしながら、この\(f\)は定義域が\(\mathbb{R}\)のときは一様連続ではありません。
例3. \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\)が\(f(x)=x^2\)で定められているとします。
このとき、\(f\)は一様連続ではありません。
実際、\(\varepsilon=1\)として、任意の\(\delta>0\)に対して
$$
x=\frac{\delta}{2}+\frac{1}{\delta},\quad y=\frac{1}{\delta}
$$
とすると、
$$
|x-y|=\frac{\delta}{2}+\frac{1}{\delta}-\frac{1}{\delta}=\frac{\delta}{2}<\delta
$$
となります。
しかしながら、
\begin{eqnarray}
\left|f(x)-f(y)\right|&=&|x-y|\cdot|x+y|\\
&=&\frac{\delta}{2}\left(\frac{\delta}{2}+\frac{2}{\delta}\right)\\
&=&\frac{\delta^2}{4}+1\geq1
\end{eqnarray}
となります。
今、何が成り立ったかと言うと
が成り立った、ということです。
これはまさに一様連続の否定
$$
(\exists \varepsilon>0)\ {\rm s.t.}\ \left[(\forall \delta>0)\ (\exists x\in A)\ (\exists y\in A)\ {\rm s.t.}\ (\left|x-y\right|<\delta\land\left|f(x)-f(y)\right|\geq\varepsilon)\right]
$$
が成り立った、ということになります。
さらに言えば、定理1.の逆は成り立たない、ということです。
ハイネの定理
先程、「一様連続は通常の連続よりも強い主張ですよ〜」という話をしました。
実は、有界閉集合上であれば、「連続」から、「連続」よりも強い「一様連続」が従います。
これがハイネの定理です。
定理4.(ハイネの定理)
\(A\subset\mathbb{R}^n\)が有界閉集合だとする。このとき、\(\boldsymbol{f}:A\to\mathbb{R}^m\)が\(A\)で連続ならば、\(\boldsymbol{f}\)は\(A\)上一様連続である。ハイネの定理の証明
\(\boldsymbol{f}\)が\(A\)上一様連続でないとして、矛盾を導きます(背理法！)。
今、\(\boldsymbol{f}\)が\(A\)上一様連続でないとしているので、一様連続の否定
$$
(\exists \varepsilon>0)\ {\rm s.t.}\ \left[(\forall \delta>0)\ (\exists \boldsymbol{x}\in A)\ (\exists \boldsymbol{y}\in A)\ {\rm s.t.}\ (\left\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\|<\delta\land\left\|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{y})\right\|\geq\varepsilon)\right]\cdots①
$$
が成り立っています。
\(\delta>0\)は任意なので、\(\displaystyle\delta=\frac{1}{k}\ (k\in\mathbb{N})\)としても①が成り立っています。
①から
今、\(A\)が有界閉集合であることに注意して、以下の事実を使います。
命題5.
\(A\subset\mathbb{R}^n\)が\(A\neq\emptyset\)とする。このとき次の２つは同値である。- \(A\)は有界閉集合である、
- \(A\)の要素からなる任意の点列\(\{\boldsymbol{x}_n\}_{n\in\mathbb{N}}\)は収束する部分列を持ち、その極限は\(A\)に属する。
命題5.の証明は【解析学の基礎シリーズ】多変数関数編 その18を御覧ください。
さて、命題5.から\(A\)の点列\(\{\boldsymbol{x}_k\}_{k\in\mathbb{N}}\)の部分列\(\{\boldsymbol{x}_{k_p}\}_{p\in\mathbb{N}}\)が存在して、
$$
\lim_{p\to\infty}\boldsymbol{x}_{k_p}=\boldsymbol{x}\in A\cdots③
$$
です。
②から、\(\displaystyle\left\|\boldsymbol{x}_{k_p}-\boldsymbol{y}_{k_p}\right\|<\frac{1}{k_p}\)です。
また\(k_p\geq p\)です。
これについては【解析学の基礎シリーズ】関数の極限編 その16の補題2.の証明を御覧ください。
さて、以上のことから
$$
\lim_{p\to\infty}\left\|\boldsymbol{x}_{k_p}-\boldsymbol{y}_{k_p}\right\|=0\cdots④
$$
です。
従って、③と④から
$$
\left\|\boldsymbol{y}_{k_p}-\boldsymbol{x}\right\|\leq\left\|\boldsymbol{y}_{k_p}-\boldsymbol{x}_{k_p}\right\|+\left\|\boldsymbol{x}_{k_p}-\boldsymbol{x}\right\|\longrightarrow 0\quad (p\to\infty)
$$
です。
すなわち、
$$
\lim_{p\to\infty}\boldsymbol{y}_{k_p}=\boldsymbol{x}\cdots⑤
$$
が成り立ちます。
②により、
$$
\left\|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_{k_p})-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{y}_{k_p})\right\|\geq\varepsilon\quad(\forall p\in \mathbb{N})
$$
ですから、ここで\(p\to\infty\)として、③と⑤を用いると、\(\boldsymbol{f}\)の\(\boldsymbol{x}\in A\)における連続性から
$$
0=\left\|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\right\|\geq\varepsilon0
$$
となって矛盾です。
ハイネの定理の証明終わり
皆様のコメントを下さい！
記事の内容とは全く関係ないことですが、筆者は万年筆とそれに合うノートを使って数学をしています(万年筆編とノート編を御覧ください)。
皆様はどういう道具を使って数学をやっているか非常の興味があるので、もしよかったらコメントで教えて下さい！
オススメのペン、万年筆、ノートも教えて下さい！
結
今回は、一様連続とハイネの定理について解説しました。
一様連続は連続よりも強い主張で、形式的には論理式の\((\exists \delta>0)\)の場所が異なるというのが連続との違いです。
直感的には「定義域の各点によらず、”全体的に均一に”連続だ」ということです。
一様連続は連続よりも強い主張なのですが、定義域が有界閉集合である場合、一様連続ならば連続という事実が導けます。
これがハイネの定理です。
次回は連続関数の可積分性、積分の強単調性について解説します。
乞うご期待！
質問、コメントなどお待ちしております！
どんな些細なことでも構いませんし、「定理〇〇の△△が分からない！」などいただければ全てお答えします！
お問い合わせの内容にもよりますが、ご質問はおおよそ３日以内にお答えします。
もし直ちに回答が欲しければその旨もコメントでお知らせください。直ちに対応いたします。
コメントをする