※オイラーのφ関数だけ※(オイラーのφ関数の和)

本記事の内容

本記事は、オイラーのφ関数”だけ”の性質である「オイラーの$\varphi$関数に対して、ある整数の約数での和は元の整数と一致する」を証明する記事です。

本記事を読むに当たり、オイラーの$\varphi$関数について知っている必要があるため、以下の記事も合わせてご覧下さい。

オイラーのφ関数とは？性質は？導入背景は？

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2023.05.06

前回、前々回の軽い復習 (読み飛ばしてOK)

そもそも、オイラーの$\varphi$関数とは何だったか？ということも含め、前回説明したことについて軽く復習します。

オイラー関数とは何か？

$n$以下の自然数に対し、$n$と互いに素な整数の個数を対応させる関数$\varphi:\mathbb{N}\longrightarrow \mathbb{N}$をオイラーの$\varphi$関数と呼ぶのです。

書き方は色々ありますが、例えば以下のように書くことができます。

$$\begin{eqnarray} \varphi(n)&=&\left|\left\{ x\in\mathbb{N}\middle|x\leq n,\ \gcd(x,n)=1\right\}\right|\tag{1}\\ &=&\sum_{\substack{x\in\mathbb{N}\\ x\leq n\\ \gcd(x,n)=1}}1\tag{2} \end{eqnarray}$$

オイラーの$\varphi$関数の性質

定理1.の証明は【代数学の基礎シリーズ】初等整数論編 その16を御覧ください。

定理2.の証明は【代数学の基礎シリーズ】初等整数論編 その16を参照して下さい。

定理3.の証明は【代数学の基礎シリーズ】初等整数論編 その16を参照して下さい。

定理0.の証明は【代数学の基礎シリーズ】初等整数論編 その17を御覧ください。

本記事で言いたいこと

一言で述べれば

の証明です。

本題に入る前に (使う事実を予め証明する)

定理4.の証明

$d=\gcd(a,b)$とします。
以下の事実を使います。

定理5.の証明は【代数学の基礎シリーズ】初等整数論編 その3を御覧ください。

定理5.から、$a$と$b$の任意の公約数$e$は$d$の約数です。
故に、$\displaystyle \frac{a}{\gcd(a,b)}$と$\displaystyle\frac{b}{\gcd(a,b)}$に公約数は存在しません(最大公約数で割ることで約数の全てを割っていることになるから)。

したがって、成り立ちます。

定理4.の証明終わり

オイラーの$\varphi$関数に対して、ある整数の約数での和は元の整数と一致することの証明

では、本題に入りましょう。

主張を再掲しておきます。

この$\displaystyle\sum_{d\mid n}$という記法については【代数学の基礎シリーズ】初等整数論編 その16を御覧ください。

定理5.の証明

$n\in\mathbb{N}$の任意の約数を$d\in\mathbb{N}$とするとき、$n$個の正の整数$1,2,\cdots,n$の中に$\gcd(x,n)=d$であるような$x\in\mathbb{N}$は何個存在するだろうか？ということを考えます。

$\gcd(x,n)=d$を満たすような$x\in\mathbb{N}$は
$$(\exists x^\prime,\ n^\prime\in\mathbb{N})\ {\rm s.t.}\ x=dx^\prime,\ n=dn^\prime$$
と書くことができます。
そして、定理4.から$\gcd(x^\prime,n^\prime)=1$が成り立ちます。

したがって、$\gcd(x,n)=d$となるような$x\in\mathbb{N}$の個数は$\gcd(x^\prime,n^\prime)=1$なる$x^\prime\in\mathbb{N}$の個数と一致します。
すなわち、$\displaystyle\varphi(n^\prime)=\varphi\left( \frac{n}{d}\right)$と一致します。

故に、$n$個の自然数$x=1,2,\cdots,$をそれぞれに対応する$\gcd(x,n)=d$で分類すると、

• $d=1$のとき
  $\gcd(x,n)=d=1$であるような$x$の個数は$\displaystyle\varphi\left( \frac{n}{d}\right)=\varphi\left(\frac{n}{1} \right)=\varphi(n)$個
• $d=d_1$のとき
  $\gcd(x,n)=d=d_1$であるような$x$の個数は$\displaystyle\varphi\left( \frac{n}{d_1}\right)$個
• $d=d_2$のとき
  $d=d_1$のとき
  $\gcd(x,n)=d=d_1$であるような$x$の個数は$\displaystyle\varphi\left( \frac{n}{d_1}\right)$個
• $d=n$のとき
  $\gcd(x,n)=d=n$であるような$x$の個数は$\displaystyle\varphi\left( \frac{n}{d}\right)=\varphi\left(\frac{n}{n} \right)=\varphi(1)$個

すなわち、$d$を順々に増やしていくと、最後には$\varphi(1)=1$個になります。

これらの個数の総和は$n$でなければならないから
$$\varphi(n)+\varphi\left( \frac{n}{d_1}\right)+\varphi\left( \frac{n}{d_2}\right)+\cdots+\varphi(1)=n$$
が成り立ちます。

$\displaystyle n,\frac{n}{d_1},\frac{n}{d_2},\cdots,1$は、$n$の全ての約数$1,d_1,d_2,\cdots,n$の余約数、すなわち$1$と$n$を除いて約数でないものですから、全体としては$n$の全ての約数です。
したがって、
$$\sum_{\substack{d\in\mathbb{N}\\ d\mid n}}\varphi(d)=n$$
となるわけです。

定理5.の証明終わり

確かめてみる

$n=15$のとき、定理5.を確かめてみましょう。

$d\mid n$なる$d\in\mathbb{N}$は、$n=15$ですので、
$$d=1,3,5,15$$
です。

一方で、
$$\begin{eqnarray} \varphi(1)&=&1,\ \varphi(3)=2,\ \varphi(5)=4,\ \varphi(15)=8 \end{eqnarray}$$
です。

和を取れば、$1+2+4+8=15=n$となっています。
たしかに成り立っています。

ちょっと先取り (オイラーの$\varphi$関数は特殊な関数)

詳しくは次回以降で解説しますが、今回解説した定理5.はオイラーの$\varphi$関数ならではの性質です。

つまり、オイラーの$\varphi$関数以外で、定理5.のような性質を持つ数論的関数は存在しないのです。

言い換えれば、任意の$n\in\mathbb{N}$に対して
$$\sum_{\substack{d\in\mathbb{N}\\d\mid n}}\psi(d)=n$$
であるときは、$\psi=\phi$と断言することができるのです。

皆様のコメントを下さい！

数学に限らず、なにか作業をしていると、煮詰まったり疲れたりしますよね。
そんなとき、どう息抜きをしていますか？

是非コメントで教えてください！

結

今回は、オイラーの$\varphi$関数特有の性質である「オイラーの$\varphi$関数に対して、ある整数の約数での和は元の整数と一致する」を証明しました。

証明方法はシンプルで、平たく言えば単に数え上げるという方法です。

今回解説した性質はオイラーの$\varphi$関数特有のもので、今回解説した性質を満たすような数論的関数はオイラーの$\varphi$関数のみです。

次回以降は、「メビウス関数」について解説します。

乞うご期待！
質問、コメントなどお待ちしております！
どんな些細なことでも構いませんし、「定理〇〇の△△が分からない！」などいただければお答えします！

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