陰関数定理って？証明してみよう！

本記事の内容

本記事は陰関数定理がどんな定理か、そして陰関数定理を逆関数定理から証明する、という記事です。

本記事を読むにあたり、逆関数定理について知っている必要があるため、以下の記事も合わせてご覧ください。

陰関数定理ってどんな定理？

陰関数定理をあえて一言で述べるとすれば、

という定理です。
「じゃあ陰関数って何？」という話ですが、厳密な話は陰関数定理の主張の部分で述べるとして、
ここでは直感的な説明をします。

陰関数と陽関数の直感的な説明

「陰関数とは何か？」の前に、”陰関数”の字面だけに注目すると「もしかして”陽”関数ってのもあるの？」となるのではないでしょうか。
実はあります。
そして、陽関数と陰関数は親密な関係です。

平たく言うと、

ということです。
例えば、\(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}_{\geq0}\)を\(f(x)=x^2+1\)で定めます。
このとき、任意の\(x\in\mathbb{R}\)に対して、ある\(y\in\mathbb{R}_{\geq0}\)が存在して\(y=f(x)=x^2+1\)と書ける、というわけですので、これは式変形して\(x^2-y+1=0\)と書き直すことができます。
そこで、新たに\(F(x,y)=x^2-y+1\)とすると、\(F(x,y)=0\)です。
ここで出現した\(y=x^2+1\)が陽関数表示、\(x^2-y+1=0\)が陰関数表示です。

直感的には、方程式\(F(x,y)=0\)は、例外的な状況を除けば基本的に平面上の曲線を表しています。
さらに、適当に範囲を限定すれば、変数\(x\)の関数\(y=\varphi(x)\)を定めることがあります(要するに、\(F(x,y)=0\)という方程式を\(y=\)の形に直したものが\(\varphi(x)\))。

このとき、その関数\(y=\varphi(x)\)を\(F(x,y)=0\)が定まる陰関数と呼びます。

例えばどんなのですか？

例1. \(F(x,y)=y-\varphi(x)\)という形をしていたとしましょう。
このとき、\(F(x,y)=0\)が定める曲線は関数\(\varphi(x)\)のグラフそのものです。

例2. \(F(x,y)=x+2y+3\)だとしたら、\(F(x,y)=0\)が定まる曲線は、直線\(\displaystyle y=-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\)です。

例3. \(F(x,y)=y^2-x^2(x-a)\ (a\in\mathbb{R})\)のとき、\(F(x,y)=0\)は\(y=0\ \)(\(x=0\)のとき)、または\(y=\pm x\sqrt{x-a}\ \)(\(x\geq a\)のとき)と解けます。
\(F(x,y)=0\)が定める曲線は

• \(a<0\)のときは、原点で自己交差する曲線(原点を結節点と呼びます)。
• \(a=0\)のときは原点で尖っている曲線(原点を尖点と呼びます)。
• \(a>0\)のときは原点と\(x\geq a\)の範囲にある曲線(原点を孤立点と呼びます)。

です。

※↓\(a\)を触るとグラフが動きます。

陰関数定理の明示

陰関数定理の明示の前に記号のお話をします。

記号のお話

陰関数定理には\(\mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^n\)という集合が出現します。
これはどういう集合か、というと予想通りといったところですが、
$$
\mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^n=\left\{
(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\ \middle|\
\boldsymbol{x}=
\left(\begin{array}{c}
x_1\\
\vdots\\
x_m
\end{array}
\right)\in\mathbb{R}^m,\quad
\boldsymbol{y}=
\left(\begin{array}{c}
y_1\\
\vdots\\
y_n
\end{array}
\right)\in\mathbb{R}^n
\right\}
$$
です。
これは
$$
\boldsymbol{z}=
\left(\begin{array}{c}
z_1\\
\vdots\\
z_m\\
z_{m+1}\\
\vdots\\
z_{m+n}
\end{array}
\right)\quad
(z_j\in\mathbb{R},\ j=1,2,\dots,m+n)
$$
の全体集合\(\mathbb{R}^{m+n}\)と同一視できます。
実際、\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^{m+n}\)を
$$
\boldsymbol{f}\left(
\left(\begin{array}{c}
x_1\\
\vdots\\
x_m
\end{array}
\right),
\left(\begin{array}{c}
y_1\\
\vdots\\
y_n
\end{array}
\right)
\right)=
\left(\begin{array}{c}
x_1\\
\vdots\\
x_m\\
y_{1}\\
\vdots\\
y_{n}
\end{array}
\right)
$$
で定めると、\(\boldsymbol{f}\)は全単射だからです。
そこで、例えば\(\Omega\subset\mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^n\)が開集合と述べた場合はこの同一視によって\(\Omega\)が\(\mathbb{R}^{m+n}\)の開集合だ、ということを意味しています。
単に\((\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\)が\(\mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^n\)の要素だ、と述べた場合は特に断りがなければ\(\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^m\)、\(\boldsymbol{y}\in\mathbb{R}^n\)だとします。

さて、\(\boldsymbol{F}:\Omega\to\mathbb{R}^n\)があるとき、
$$
\boldsymbol{F}=
\left(
\begin{array}{c}
F_1\\
\vdots\\
F_n
\end{array}
\right)
$$
と書いたとすれば、
$$
\boldsymbol{F}^\prime(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=
\begin{pmatrix}
\displaystyle\frac{\partial F_1}{\partial x_1}&\cdots&\displaystyle\frac{\partial F_1}{\partial x_m}&\displaystyle\frac{\partial F_1}{\partial y_1}&\cdots&\displaystyle\frac{\partial F_1}{\partial y_n}\\
\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\
\displaystyle\frac{\partial F_n}{\partial x_1}&\cdots&\displaystyle\frac{\partial F_n}{\partial x_m}&\displaystyle\frac{\partial F_n}{\partial y_1}&\cdots&\displaystyle\frac{\partial F_n}{\partial y_n}\\
\end{pmatrix}
$$
となるわけですが、\(m\)列、\(n\)列とブロック分けして、それぞれ\(\displaystyle\frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial \boldsymbol{x}}\)、\(\displaystyle\frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial \boldsymbol{y}}\)と書くことにします。
つまり、
$$
\frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial \boldsymbol{x}}=
\begin{pmatrix}
\displaystyle\frac{\partial F_1}{\partial x_1}&\cdots&\displaystyle\frac{\partial F_1}{\partial x_m}\\
\vdots&&\vdots\\
\displaystyle\frac{\partial F_n}{\partial x_1}&\cdots&\displaystyle\frac{\partial F_n}{\partial x_m}\\
\end{pmatrix},\quad
\frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial \boldsymbol{y}}=
\begin{pmatrix}
\displaystyle\frac{\partial F_1}{\partial y_1}&\cdots&\displaystyle\frac{\partial F_1}{\partial y_n}\\
\vdots&&\vdots\\
\displaystyle\frac{\partial F_n}{\partial y_1}&\cdots&\displaystyle\frac{\partial F_n}{\partial y_n}\\
\end{pmatrix}
$$
です。

陰関数定理の明示

では、陰関数定理を明示します。

2.についてちょっと言及しておくと、2.は「方程式が解ける」ということを言わば解析的に表現したものです。
また、上記の\(\boldsymbol{F}\)が陰関数です。

では、陰関数定理を証明してみましょう。

陰関数定理の証明

では行きます。
陰関数定理を証明するにあたって、逆関数定理を使います。

陰関数定理の証明

\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R}^{m+n}\supset\Omega\to\mathbb{R}^{m+n}\)を
$$
\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=
\left(
\begin{array}{c}
\boldsymbol{x}\\
\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})
\end{array}
\right)
$$
で定めたとすると、\(\boldsymbol{F}\)が\(C^1\)級で、\(\boldsymbol{x}\)も\(C^1\)級なので、\(\boldsymbol{f}\)は\(C^1\)級です。
さらに、\(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})=\boldsymbol{0}\)から
$$
\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})=
\left(
\begin{array}{c}
\boldsymbol{a}\\
\boldsymbol{F}(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})
\end{array}
\right)=
\left(
\begin{array}{c}
\boldsymbol{a}\\
\boldsymbol{0}
\end{array}
\right)
$$
で、
$$
\boldsymbol{f}^\prime(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})=
\begin{pmatrix}
I&O\\
\displaystyle\frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial \boldsymbol{x}}(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})&\displaystyle\frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial \boldsymbol{y}}(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})
\end{pmatrix}
$$
です。

ここで、以下の定理を使います。

定理4.の証明は【線型代数学の基礎シリーズ】行列式編 その2を御覧ください。

定理4.と\(\displaystyle\det\left( \frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial \boldsymbol{y}}\right)(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})\neq\boldsymbol{0}\)を使うと、
\begin{eqnarray}
\det\left( \boldsymbol{f}^\prime(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})\right)&=&\det\left( I\right)\cdot\det\left( \frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial \boldsymbol{y}}(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})\right)-\det(O)\cdot\det\left( \frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial \boldsymbol{x}}(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})\right)\\
&=&\det\left( I\right)\cdot\det\left( \frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial \boldsymbol{y}}(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})\right)-0\\
&=&\det\left( \frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial \boldsymbol{y}}(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})\right)\neq0
\end{eqnarray}
です。
従って、逆関数定理を適用することができます。

逆関数定理は何だったか、というと以下でした。

逆関数定理の証明は【解析学の基礎シリーズ】偏微分編 その11を御覧ください。

さて、逆関数定理から、点\((\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})\)を含む開集合\(\tilde{\Omega}\subset\Omega\)と、点\(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})=(\boldsymbol{a},\boldsymbol{0})\)を含む開集合\(W\)が存在して、\(\left.\boldsymbol{f}\right|_\tilde{\Omega}:\tilde{\Omega}\to W\)は\(C^1\)級の逆関数\(\boldsymbol{g}\)を持ちます。

任意の\((\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\in\tilde{\Omega}\)に対して、\(\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=(\boldsymbol{x},\boldsymbol{\psi}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}))\)と書けます。
実際、\(\left( \boldsymbol{\eta}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}),\boldsymbol{\psi}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\right)=\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\)と定めると、$$
(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{\eta}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}),\boldsymbol{\psi}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) \right)=\left( \boldsymbol{\eta}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}),\boldsymbol{F}\left( \boldsymbol{\eta}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}),\boldsymbol{\psi}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\right)\right)
$$
となります。
故に、\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\eta}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\)だから、\(\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{\psi}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\right)\)です。

さて、写像\(\pi:\mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\)を\(\pi(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=\boldsymbol{y}\)で定めると、\(\boldsymbol{\psi}=\pi\circ \boldsymbol{g}\)と表現できるので、\(\pi\)も\(\boldsymbol{g}\)も\(C^1\)級なので、\(\boldsymbol{\psi}\)は\(C^1\)級だということが分かります。

一方で、\(\pi\circ\boldsymbol{f}=\boldsymbol{F}\)ですので、任意の\((\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\in W\)に対して、
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{\psi}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}))&=&
\boldsymbol{F}(\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}))\\
&=&\left( (\pi\circ \boldsymbol{f})\circ \boldsymbol{g}\right)(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\\
&=&\left(\pi\circ(\boldsymbol{f}\circ\boldsymbol{g})\right)(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\\
&=&\pi(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=\boldsymbol{y}
\end{eqnarray}
となります。

さて、\(\boldsymbol{a}\)を含むような開集合\(\tilde{U}\)、\(\boldsymbol{b}\)を含むような開集合\(V\)を
$$
\tilde{U}\times V\subset \tilde{\Omega},\quad \tilde{U}\times\{\boldsymbol{0}\}\subset W
$$
となるように取ります。
そして、\(\boldsymbol{\varphi}:\tilde{U}\to\mathbb{R}^m\)を\(\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{\psi}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{0})\)で定めます。
ただし、\(\boldsymbol{x}\in\tilde{U}\)のとき、\((\boldsymbol{x},\boldsymbol{0})\in\tilde{U}\times\{\boldsymbol{0}\}\subset W=\boldsymbol{\psi}\)の定義域であることに注意しましょう。

\(\boldsymbol{\psi}\)が\(C^1\)級なので、\(\boldsymbol{\varphi}\)もまた\(C^1\)級です。
そして、\(\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{a})=\boldsymbol{b}\)です。
実際、\(\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{a})=\boldsymbol{\psi}(\boldsymbol{a},\boldsymbol{0})=\left( \pi\circ\boldsymbol{g}\right)(\boldsymbol{a},\boldsymbol{0})=\pi(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})=\boldsymbol{b}\)だからです。

さて、\(U=\tilde{U}\cap\boldsymbol{\varphi}^{-1}(V)\)とすると、\(U\)は\(\boldsymbol{a}\)を含む開集合で、\(\boldsymbol{\varphi}(U)\subset V\)です。
そして、\(\boldsymbol{x}\in U\)とすると、\(\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x})\in\boldsymbol{\varphi}(U)\subset V\)です。
故に、\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x})\right)\in U\times V\subset \tilde{U}\times V\subset \tilde{\Omega}\)です。
従って、\(\boldsymbol{F}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x})\right)=\boldsymbol{F}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{\psi}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{0})\right)=\boldsymbol{0}\)となります。

逆に、\(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=\boldsymbol{0}\)だったとすると、
$$
\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\right)=(\boldsymbol{x},\boldsymbol{0})=\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x}))\right)=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x}))
$$
です。
故に\(\left.\boldsymbol{f}\right|_\tilde{\Omega}\)は全単射なので、\(\boldsymbol{y}=\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x})\)
です。

陰関数定理の証明終わり

陰関数定理はどの分野で応用されるの？

陰関数定理はいわゆる「存在する」ということを主張する定理なので、あまりご利益が分かりづらい部分があると思います。

しかし陰関数定理は数学において多くの重要な応用をお持ちます。
ここでは多様体、分岐論について紹介します。

多様体

幾何学には「多様体」という分野があります。
多様体は現代幾何学の諸理論を展開する場として多く登場します。
多様体は狭い見方をすれば、曲線や曲面の概念を一般化したものなのですが、現代の数学においては基本的な概念でもあります。
その理論の基礎固めをするときに、陰関数定理が必要になります。
例えば、局所的に\(F=0\)という方程式の解集合として定められるものと、\(\varphi\)のグラフとして定められるものが同じものであることを保証するために使われます。

分岐理論

誠に平たく言うと、パラメータ\(\lambda\)を含む方程式
$$
F(x,\lambda)=0
$$
の解\(x=x(\lambda)\)のパラメータ依存性(特に解の一意性が担保されない場合)を研究するのが分岐理論です。
陰関数定理が適用できる場合であれば、解の一意性が成り立つので、分岐が起こるためには陰関数定理の条件が成り立たないことが必要だ、とわかるわけです。

陰関数定理を使ってみる。

例6.(デカルトの葉線(folium of Descartes, folium cartesii, 1694)) \(a>0\)とするとき、\(F(x,y)=x^3+y^3-3axy\)、\(\displaystyle P=\left( \frac{3a}{2},\frac{3a}{2}\right)\)とします。
点\(P\)の十分小さな開近傍において、\(F(x,y)=0\)の陰関数\(y=\varphi(x)\)が存在することを示して、その点における微分係数を求めてみます。

\(F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\)は\(C^1\)級で、
\begin{eqnarray}
&&F\left( \frac{3a}{2},\frac{3a}{2}\right)=\left( \frac{3a}{2}\right)^3+\left( \frac{3a}{2}\right)^3-3a\left( \frac{3a}{2}\right)^2=\left( \frac{27}{8}+\frac{27}{8}-\frac{27}{4}\right)a^3=0,\\
&&F_y(x,y)=3y^2-3ax,\\
&&F_y\left(\frac{3a}{2},\frac{3a}{2} \right)=3\left( \frac{3a}{2}\right)^2-3a\times\frac{3a}{2}=\frac{9a^2}{4}\neq0
\end{eqnarray}
となるので、\(\displaystyle\frac{3a}{2}\)の十分小さな開近傍\(U\)と\(V\)が存在して、\(U\times V\)で\(F(x,y)=0\)は\(y=\varphi(x)\)と解けて、\(\varphi:U\to V\)は\(C^1\)級となります。
\(F(x,\varphi(x))=0\)により、\(F_x(x,\varphi(x))+F_y(x,\varphi(x))\varphi^\prime(x)=0\)となるので、
$$\varphi^\prime(x)=-\frac{F_x\left( x,\varphi(x)\right)}{F_y\left( x,\varphi(x)\right)}$$
となります。
$$
F_x(x,y)=3x^2-3ay,\quad F_x\left( \frac{3a}{2},\frac{3a}{2}\right)=\frac{9a^2}{4}
$$
であるから、
$$
\varphi^\prime\left( \frac{3a}{2}\right)=-\frac{F_x\left( \frac{3a}{2},\frac{3a}{2}\right)}{F_y\left(\frac{3a}{2},\frac{3a}{2}\right)}=-\frac{\frac{9a^3}{4}}{\frac{9a^3}{4}}=-1
$$
です。

読者の皆様のコメントを下さい！

本記事とは関係ないのですが、数学をやっていると色々と定理に出くわします。
ガウスやらオイラーやらはほとんどどの分野でも見るようなもので、彼らの凄さを垣間見ることができます。

そんな中でも”面白い”名前の定理といものあったりします。
筆者は詳しくはないのですが、カラテオドリの定理というのがあります。
気分が悪くなってしまう方もいらっしゃるかと思いますが、筆者が初めてみたときに「本当にそんな名前の定理なの？(笑)”空手踊り”?(笑)」と思いました。

他にも「”面白い”名前の定理があるよ！」という方は是非コメントで教えて下さい！

結

今回は陰関数定理について解説しました。
陰関数定理は逆関数定理から導けます。
また、陰関数定理がどのような分野で使われるのか、ということも解説しました。
具体的には多様体と分岐理論で使われる場合がある、と述べました。

次回は第2回目の1時間チャレンジです。
次次回に陰関数定理から逆関数定理を証明してみます。

乞うご期待！
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